Question

【题目】定义域为的函数满足：对于任意的实数都有成立，且当时， 恒成立，且是一个给定的正整数）．

（1）判断函数的奇偶性，并证明你的结论；

（2）判断并证明的单调性；若函数在上总有成立，试确定应满足的条件；

（3）当时，解关于的不等式．

Answer 1

【答案】（1）为奇函数，证明见解析；（2）f（x）在（-∞，+∞）上是减函数,证明见解析；f（1）∈[-5，0）（3）①当时，原不等式的解集为或；②当时，原不等式的解集为；③当时，原不等式的解集为或}．

【解析】

（1）利用函数奇偶性的定义，结合抽象函数关系，利用赋值法进行证明;

（2）结合函数单调性的定义以及最值函数成立问题进行证明即可;

（3）利用抽象函数关系，结合函数奇偶性和单调性定义转化为一元二次不等式，讨论参数的范围进行求解即可;

（1）f（x）为奇函数，证明如下；

由已知对于任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）恒成立．

令x=y=0，得f（0+0）=f（0）+f（0），所以f（0）=0．

令y=-x，得f（x-x）=f（x）+f（-x）=0．

所以对于任意x，都有f（-x）=-f（x）．

所以f（x）是奇函数．

（2）设任意x1，x2且x1＜x2，则x2﹣x1＞0，由已知f（x2﹣x1）＜0，

又f（x2﹣x1）＝f（x2）+f（﹣x1）＝f（x2）﹣f（x1）＜0

得f（x2）＜f（x1），

根据函数单调性的定义知f（x）在（﹣∞，+∞） 上是减函数．

所以f（x）在[﹣2，5]上的最大值为f（﹣2）．

要使f（x）≤10恒成立，当且仅当f（﹣2）≤10，

又因为f（﹣2）＝﹣f（2）＝﹣f（1+1）＝﹣2f（1）

所以f（1）≥﹣5．

又x＞1，f（x）＜0，

所以f（1）∈[﹣5，0）．

（3）∵．，

∴f（ax2）-f（a2x）＞n2[f（x）-f（a）]．

所以f（ax2-a2x）＞n2f（x-a），

所以f（ax2-a2x）＞f[n2（x-a）]，

因为f（x）在（-∞，+∞）上是减函数，

所以ax2-a2x＜n2（x-a）．

即（x-a）（ax-n2）＜0，

因为a＜0，所以（x-a）（x）＞0．

讨论：

①当a＜＜0，即a＜-n时，原不等式的解集为{x|x＞或x＜a}；

②当a=，即a=-n时，原不等式的解集为{x|x≠-n}；

③当＜a＜0，即-n＜a＜0时，原不等式的解集为{x|x＞a或x＜}．