Question

17．已知x+y=1，x＞0，y＞0，则$\frac{1}{2x}$+$\frac{x}{y+1}$的最小值为$\frac{5}{4}$．

Answer 1

分析 消元可得$\frac{1}{2x}$+$\frac{x}{y+1}$=-1+$\frac{3x+2}{-2{x}^{2}+4x}$，然后换元令3x+2=t，x=$\frac{1}{3}$（t-2），代入要求的式子由基本不等式可得．

解答 解：∵x+y=1，x＞0，y＞0，∴y=1-x
∴$\frac{1}{2x}$+$\frac{x}{y+1}$=$\frac{1}{2x}$+$\frac{x}{2-x}$=$\frac{2-x+2{x}^{2}}{2x（2-x）}$
=$\frac{-（-2{x}^{2}+4x）+3x+2}{-2{x}^{2}+4x}$
=-1+$\frac{3x+2}{-2{x}^{2}+4x}$，
令3x+2=t，则t∈（2，5）且x=$\frac{1}{3}$（t-2），
∴-1+$\frac{3x+2}{-2{x}^{2}+4x}$=-1+$\frac{t}{-\frac{2}{9}（t-2）^{2}+\frac{4}{3}（t-2）}$
=-1+$\frac{9t}{-2{t}^{2}+20t-32}$=-1+$\frac{9}{-2t-\frac{32}{t}+20}$，
由基本不等式可得-2t-$\frac{32}{t}$=-2（t+$\frac{16}{t}$）≤-2•2$\sqrt{t•\frac{16}{t}}$=-16，
当且仅当t=$\frac{16}{t}$即t=3x+2=4即x=$\frac{2}{3}$时取等号，
∴-2t-$\frac{32}{t}$+20≤4，∴$\frac{9}{-2t-\frac{32}{t}+20}$≥$\frac{9}{4}$，
∴-1+$\frac{9}{-2t-\frac{32}{t}+20}$≥$\frac{5}{4}$，
故答案为：$\frac{5}{4}$．

点评 本题考查基本不等式求最值，涉及消元和换元的思想，属中档题．