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精英家教网设F1,F2分别是椭圆C:
x2
6m2
+
y2
2m2
=1
(m>0)的左,右焦点.
(1)当P∈C,且
PF1
PF
2
=0
,|PF1|•|PF2|=8时,求椭圆C的左,右焦点F1、F2
(2)F1、F2是(1)中的椭圆的左,右焦点,已知⊙F2的半径是1,过动点Q的作⊙F2切线QM,使得|QF1|=
2
|QM|
(M是切点),如图.求动点Q的轨迹方程.
分析:(1)利用条件得PF1⊥PF2以及PF1|2+|PF2|2=(2c)2=16m2.再利用椭圆定义求出关于m的方程,解出m的值就可求椭圆C的左,右焦点F1、F2
(2)把已知条件转化为|QF1|2=2(|QF2|2-1),整理即可求出动点Q的轨迹方程.
解答:解:(1)∵c2=a2-b2,∴c2=4m2.(2分)
又∵
PF1
PF2
=0
∴PF1⊥PF2,(3分)
∴|PF1|2+|PF2|2=(2c)2=16m2.(5分)
由椭圆定义可知|PF1|+|PF2|=2a=2
6
m
,(|PF1|+|PF2|)2=16m2+16=24m2,(6分)
从而得m2=2,c2=4m2=8,c=2
2
.∴F1(-2
2
,0)、F2(2
2
,0).(7分)
(2)∵F1(-2
2
,0),F2(2
2
,0),
由已知:|QF1|=
2
|QM|
,即|QF1|2=2|QM|2
所以有:|QF1|2=2(|QF2|2-1),设点Q(x,y),(9分)
则(x+2
2
2+y2=2[(x-2
2
2+y2-1],(12分)
即(x-6
2
2+y2=66)
综上所述,所求轨迹方程为:(x-6
2
2+y2=66.(14分)
点评:本题涉及到求动点的轨迹方程问题.在求动点的轨迹方程时,一般是利用条件得到关于动点的等式整理就可求出对应动点的轨迹方程.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

设F1,F2分别是椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左、右焦点,且椭圆上一点P(1,
3
2
)
到F1,F2两点距离之和等于4.
(Ⅰ)求此椭圆方程;
(Ⅱ)若直线l:y=kx+m(k≠0)与椭圆交于不同的两点M、N,且线段MN的垂直平分线过定点G(
1
8
,0)
,求k的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网设F1、F2分别是椭圆C:
x2
6m2
+
y2
2m2
=1
(m>0)的左、右焦点.
(I)当p∈C,且
pF1
pF
2
=0
|
pF1
|•|
pF
2
|=4
时,求椭圆C的左、右焦点F1、F2的坐标.
(II)F1、F2是(I)中的椭圆的左、右焦点,已知F2的半径是1,过动点Q作的切线QM(M为切点),使得|QF1|=
2
|QM|
,求动点Q的轨迹.

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科目:高中数学 来源: 题型:

设F1,F2分别是椭圆C:
x2
a2
+
x2
b2
=1(a>b>0)的焦点,若椭圆C上存在点P,使线段PF1的垂直平分线过点F2,则椭圆离心率的取值范围是(  )

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2013•肇庆二模)设F1,F2分别是椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左右焦点.
(1)设椭圆C上的点(
2
2
3
2
)
到F1,F2两点距离之和等于2
2
,写出椭圆C的方程;
(2)设过(1)中所得椭圆上的焦点F2且斜率为1的直线与其相交于A,B,求△ABF1的面积;
(3)设点P是椭圆C 上的任意一点,过原点的直线l与椭圆相交于M,N两点,当直线PM,PN的斜率都存在,并记为kPN,kPN试探究kPN•kPN的值是否与点P及直线l有关,并证明你的结论.

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