Question

（2012•湘潭模拟）已知M={(x，y)|0≤y≤

4-x2

}，直线l：y=kx+2k与曲线C：y=

4-x2

有两个不同的交点，设直线l与曲线C围成的封闭区域为P，在区域M内随机取一点A，点A落在区域P内的概率为p，若p∈[

π-2

2π

，1]，则实数k的取值范围为（　　）

• A．[

  1

  2

  ，1]
• B．[0，1]
• C．[

  3

  3

  ，1]
• D．[0，

  3

  3

  ]

Answer 1

分析：集合M为圆心为原点，2为半径且在x轴上方的半圆，将直线l的方程变形后，发现直线恒过定点（-2，0），根据题意画出相应的图形，结合概率范围可知直线与圆的关系，直线以（-2，0）点为中心顺时针旋转至与x轴重合，从而确定直线的斜率范围．

解答：解：画出图形，如图所示：

直线y=kx+2k变形得：y-0=k（x+2），
∴直线恒过定点（-2，0），
又集合M为以原点为圆心，2为半径且在x轴上边的半圆，
当直线l过（-2，0），（0，2）时，
它们围成的平面区域为M，向区域P上随机投一点A，
点A落在区域M内的概率为P（M），
∵圆的半径为2，∴半圆面积为2π，
∴S_扇形AOB=π，S_△AOB=

1

2

OA•OB=

1

2

×2×2=2，
∴平面区域M的面积S=S_扇形AOB-S_△AOB=π-2，
∴P（M）=

π-2

2π

，
此时直线l的斜率为

2-0

0-(-2)

=1；
当直线与x轴重合时，P（M）=1，此时直线l的斜率为0，
综上，直线l的斜率范围是[0，1]．
故选B

点评：此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：恒过定点的直线方程，概率的求法，以及直线斜率的求法，利用了数形结合的思想，根据题意画出相应的图形是本题的突破点．