Question

一动圆过定点P（0，1），且与定直线l：y=-1相切．
（1）求动圆圆心C的轨迹方程；
（2）若（1）中的轨迹上两动点记为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且x₁x₂=-16．
①求证：直线AB过一定点，并求该定点坐标；
②求|PA|+|PB|的取值范围．

Answer 1

（1）∵动圆过定点P（0，1），且与定直线y=-1相切，
∴圆心到定点P（0，1），及定直线y=-1的距离相等
∴圆心轨迹M是以P（0，1）为焦点，直线y=-1为准线的抛物线，
∴动圆圆心C的轨迹方程是x²=4y；
（2）②证明：设直线AB方程为：y=kx+b，
代入抛物线方程，消去y得：x²-4kx-4b=0．
∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4b．
∵x₁x₂=-16，∴b=4．
∴直线AB过定点（0，4）；
②由抛物线定义知：|PA|=y₁+1，|PB|=y₂+1，
又y₁=kx₁+4，y₂=kx₂+4，x₁+x₂=4k，x₁x₂=-16．
∴|PA|+|PB|=k（x₁+x₂）+10=4k²+10≥10（等号当k=0时成立），
∴所求|PA|+|PB|的取值范围是[10，+∞）．