已知,其中
是常数.
(1)若是奇函数,求
的值;
(2)求证:的图像上不存在两点A、B,使得直线AB平行于
轴.
(1);(2)证明见解析.
【解析】
试题分析:(1)奇函数的问题,可以根据奇函数的定义,利用来解决,由于本题中有对数符号,有根式,因此根据
求出
后,最好能再求出函数的定义域,验证下它是奇函数;(2)要证明函数
的图像上不存在两点A、B,使得直线AB平行于
轴,即方程
不可能有两个或以上的解,最多只有一个解,由于
表达式不太简便,因此我们可以从简单的方面入手试试看,看
是不是单调函数,本题函数正好能根据单调性的定义证明此函数是单调函数,故本题结论得证.
试题解析:(1)解法一:设定义域为
,则:
因为是奇函数,所以对任意
,有
, 3分
得.
5分
此时,,
,为奇函数。
6分
解法二:当时,函数
的定义域不关于原点对称,函数不是奇函数. 2分
当时,函数
的定义域是一切实数.
3分
要使得函数是奇函数,则对
成立。
5分
所以
6分
(2)设定义域内任意,设
9分
当时,总有
,
,得
; 11分
当时,
,得
。
故总有在定义域上单调递增
13分
的图像上不存在两点,使得所连的直线与
轴平行
14分
考点:(1)函数的奇偶性;(2)函数的单调性与方程的解.
科目:高中数学 来源:2013-2014学年上海市高三八校联合调研考试文科数学试卷(解析版) 题型:解答题
已知,其中
是常数.
(1))当时,
是奇函数;
(2)当时,
的图像上不存在两点
、
,使得直线
平行于
轴.
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科目:高中数学 来源:2013届海南省高二上学期期末文科数学试题(解析版) 题型:解答题
(本小题满分12分)已知,其中
是自然常数,
(1)讨论时,
的单调性、极值;
(2)求证:在(1)的条件下,;
(3)是否存在实数,使
的最小值是3,若存在,求出
的值;若不存在,说明理由.
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科目:高中数学 来源:2011-2012学年浙江省宁波市鄞州区高三高考适应性3月考试文科数学 题型:解答题
已知函数其中
是常数.
(1)当时,求
在点
处的切线方程;
(2)求在区间
上的最小值.
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科目:高中数学 来源:浙江省宁波市鄞州区2011-2012学年高三高考适应性考试(3月)数学(文)试题 题型:解答题
已知函数其中
是常数.
(1)当时,求
在点
处的切线方程;
(2)求在区间
上的最小值.
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