Question

已知函数f(x)=

mx2+2

3x+n

是奇函数，且f(2)=

5

3

．
（Ⅰ）求实数m和n的值；
（Ⅱ）判断函数f（x）在（-∞，-1]上的单调性，并加以证明．

Answer 1

分析：（I）由函数是奇函数的，∴f（-x）=-f（x）恒成立，再用待定系数法求得m，n或找到m，n的关系，然全结合f(2)=

5

3

求解．
（II）用单调性定义证明，先在给定区间上任取两个变量，且界其大小，再作差变形看符号．当自变量变化与函数值变化一致时，为增函数，当自变量变化与函数值变化相反时，为减函数．

解答：解：（Ⅰ）∵函数f(x)=

mx2+2

3x+n

是奇函数
∴f（-x）=-f（x）
∴

mx2+2

-3x+n

=-

mx2+2

3x+n

=

mx2+2

-3x-n

∴n=0
∵f(2)=

5

3

．
∴

4m+2

6

=

5

3

∴m=2
（II）函数f（x）在（-∞，-1]上是增函数
证明：任取x1 ＜x2＜-1，f(x1) -f(x2) =

2

3

(x1+

1

x1

)-

2

3

(x2+

1

x2

)=

2

3

(x1-x2) (x1x2-1)

x1x2

∵x₁＜x₂＜-1，∴x₁-x₂＜0，x₁x₂-1＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0
∴f（x₁）＜f（x₂）
∴函数f（x）在（-∞，-1]上是增函数

点评：本题主要考查函数的奇偶性解题，一般情况下，已知奇偶性时，用待定系数法求解问题；同时还考查了用单调性定义证明函数的单调性，要注意变形要到位．