Question

【题目】某商店商品每件成本10元，若售价为25元，则每天能卖出288件，经调查，如果降低价格，销售量可以增加，且每天多卖出的商品件数t与商品单价的降低值x（单位：元，0≤x≤15）的关系是t=6x2 ．
（1）将每天的商品销售利润y表示成x的函数；
（2）如何定价才能使每天的商品销售利润最大？

Answer 1

【答案】
（1）解：设商品降价x元，记商品每天的获利为f（x），则依题意得

f（x）=（25﹣10﹣x）（288+6x2）=（15﹣x）（288+6x2）=﹣6x3+90x2﹣288x+4320（0≤x≤15）

（2）解：根据（1），有f′（x）=﹣18x2+180x﹣288=﹣18（x﹣2）（x﹣8）．

当x变化时，f′（x）与f（x）的变化如下表：

x	[0，2）	2	（2，8）	8	（8，15]
f′（x）	﹣	0	+	0	﹣
f（x）	单调递减	极小	单调递增	极大	单调递减

故x=8时，f（x）取得极大值．因为f（8）=4704，f（0）=4320，

所以定价为25﹣8=17元能使一天的商品销售利润最大

【解析】（1）根据题意列出函数关系式即可；（2）利用导数求函数的最大值即可解决．