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某养鸡场流行一种传染病，鸡的感染率为10%．现对50只鸡进行抽血化验，以期查出所有病鸡．设计了如下方案：按n（1≤n≤50，且n是50的约数）只鸡一组平均分组，并把同组的n只鸡抽到的血混合在一起化验，若发现有问题，即对该组的n只鸡逐只化验．记X为某一组中病鸡的只数．
（1）若n=5，求随机变量X的概率分布和数学期望；
（2）为了减少化验次数的期望值，试确定n的大小．
（参考数据：取0.9³=0.73，0.9⁴=0.66，0.9⁵=0.59，0.9¹⁰=0.35，0.9²⁵=0.07．）

【答案】分析：（1）当n=5时，X～B（5，0.1），可得

，r=0，1，2，3，4，5，分别可得概率值，进而可得分布列，可得期望；
（2）由题意得n的所有可能取值为1，2，5，10，25，50，可得50只鸡的化验总次数的期望

，分别代入可得f的值，比较可得最小值，进而可得对应的n值．
解答：解：（1）当n=5时，X～B（5，0.1），
则

，r=0，1，2，3，4，5，…（2分）
故X的概率分布表为：

X		1	2	3	4	5
P	0.59	0.33	0.073	0.0081	0.00045	0.00001

所以E（X）=5×0.1=0.5； …（4分）
（2）由题意得n的所有可能取值为1，2，5，10，25，50，
当n∈{1}时，需化验50次； …（5分）
当n∈{2，5，10，25，50}时，X～B（n，0.1），…（6分）
对于某一组的n只鸡，化验次数Y的所有可能值为1，n+1，
且P（Y=1）=0.9ⁿ，P（Y=n+1）=1-0.9ⁿ，
所以E（Y）=1×0.9ⁿ+（n+1）×（1-0.9ⁿ）=n+1-n•0.9ⁿ，…（7分）
故50只鸡的化验总次数的期望

，…（8分）
算得f（2）=34.5，f（5）=30.5，f（10）=37.5，f（25）=48.5，f（50）=51，
所以按5只鸡一组化验可使化验次数的期望值最小． …（10分）
点评：本题考查离散型随机变量的期望与方差，涉及等可能事件的概率，属中档题．

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