【题目】已知为坐标原点,抛物线
在第一象限内的点
到焦点的距离为
,曲线
在点
处的切线交
轴于点
,直线
经过点
且垂直于
轴.
(Ⅰ)求线段的长;
(Ⅱ)设不经过点和
的动直线
交曲线
于点
和
,交
于点
,若直线
的斜率依次成等差数列,试问:
是否过定点?请说明理由.
【答案】(I);(II)定点
.
【解析】试题分析:(I)根据抛物线的定义,有,
,所以抛物线方程为
,
.利用导数求得切线方程为
,所以点
的坐标为
,线段
的长为
;(II)由题意可知
的方程为
,求得
与
交点坐标为
,设
,
,联立
的方程和抛物线的方程,消去
写出根与系数关系.分别求出直线
的斜率,由等差中项的性质列方程,化简得
,所以
,故
的方程为
,即
恒过定点
.
试题解析:
(I)由抛物线在第一象限内的点
到焦点的距离为
,
得,
,
抛物线的方程为
,
在第一象限的图象对应的函数解析式为
,则
,
故在点
处的切线斜率为
,切线的方程为
,
令得
,所以点
的坐标为
.
故线段的长为2.
(II)恒过定点
,理由如下:
由题意可知的方程为
,因为
与
相交,故
.
由,令
,得
,故
.
设,
,
由消去
得:
,
则,
.
直线的斜率为
,同理直线
的斜率为
,
直线的斜率为
.
因为直线的斜率依次成等差数列,
所以.
即.
整理得:,
因为不经过点
,所以
,
所以,即
.
故的方程为
,即
恒过定点
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,已知长方形中,
,
,M为DC的中点.将
沿
折起,使得平面
⊥平面
.
(1)求证:;
(2)若点是线段
上的一动点,问点
在何位置时,二面角
的余弦值为
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知某企业近3年的前7个月的月利润(单位:百万元)如下面的折线图所示:
(1)试问这3年的前7个月中哪个月的月平均利润最高?
(2)通过计算判断这3年的前7个月的总利润的发展趋势;
(3)试以第3年的前4个月的数据(如下表),用线性回归的拟合模式估测第3年8月份的利润.
月份x | 1 | 2 | 3 | 4 |
利润y(单位:百万元) | 4 | 4 | 6 | 6 |
相关公式: ,
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某项竞赛分为初赛、复赛、决赛三个阶段进行,每个阶段选手要回答一个问题.规定正确回答问题者进入下一阶段竞赛,否则即遭淘汰.已知某选手通过初赛、复赛、决赛的概率分别是
,且各阶段通过与否相互独立.
(1)求该选手在复赛阶段被淘汰的概率;
(2)设该选手在竞赛中回答问题的个数为,求
的分布列、数学期望.
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【题目】如图,在四棱锥中,
底面
,底面
为梯形,
,
,且
.
(Ⅰ)若点为
上一点且
,证明:
平面
;
(Ⅱ)求二面角的大小;
(Ⅲ)在线段上是否存在一点
,使得
?若存在,求出
的长;若不存在,说明理由.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,设点
是椭圆
:
上一点,从原点
向圆
:
作两条切线分别与椭圆
交于点
,
,直线
,
的斜率分别记为
,
.
(1)求证: 为定值;
(2)求四边形面积的最大值.
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