Question

如图，已知椭圆C的中心为原点O，F（-2

5

，0）为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|=|OF|且|PF|=4，则椭圆C的方程为（　　）

• A、

  x2

  25

  +

  y2

  5

  =1
• B、

  x2

  36

  +

  y2

  16

  =1
• C、

  x2

  30

  +

  y2

  10

  =1
• D、

  x2

  45

  +

  y2

  25

  =1

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：第一步：设椭圆的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，右焦点为F′，由|OP|=|OF|及椭圆的对称性知，△PFF′为直角三角形；
第二步：由勾股定理，得|PF′|；
第三步：由椭圆的定义，得a²；
第四步：由b²=a²-c²，得b²；
第五步：根据椭圆标准方程的形式，直接写出椭圆的方程．

解答： 解：设椭圆标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，焦距为2c，
右焦点为F′，连接PF′，如右图所示．
因为F（-2

5

，0）为C的左焦点，所以c=2

5

．
由|OP|=|OF|=|OF′|知，∠PFF′=∠FPO，∠OF′P=∠OPF′，
所以∠PFF′+∠OF′P=∠FPO+∠OPF′，
由∠PFF′+∠OF′P+∠FPO+∠OPF′=180°知，∠FPO+∠OPF′=90°，即PF⊥PF′．
在Rt△PFF′中，由勾股定理，得|PF′|=

|FF′|2-|PF|2

=

(4 5 )2-42

=8，
由椭圆定义，得|PF|+|PF′|=2a=4+8=12，从而a=6，得a²=36，
于是b2=a2-c2=36-(2

5

)2=16，
所以椭圆的方程为

x2

36

+

y2

16

=1．
故选B．

点评：本题属容易题，主要考查了椭圆的定义及其几何特征．对于椭圆标准方程的求解，关键是根据题设或图形的几何特征，列出关于a，b，c的三个方程，这样才能确定a²，b²．