Question

如图，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的，底面边长是侧棱长2倍，D、E分别是AC、A₁C₁的中点；
（Ⅰ）求证：直线AE∥平面BDC₁；
（Ⅱ）求证：直线A₁D⊥平面BDC₁；
（Ⅲ）求直线A₁C₁与平面BDC₁所成的角．

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲证直线AE∥平面BDC₁，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证AE与平面BDC₁内一直线平行，而易证四边形ADC₁E为平行四边形，则AE∥C₁D而AE?平面BDC₁，C₁D?平面BDC₁，满足定理所需条件；
（Ⅱ）根据勾股定理可知A₁D⊥C₁D，根据线面垂直的性质可知BD⊥A₁D，而C₁D∩BD=D，满足线面垂直的判定定理，则直线A₁D⊥平面BDC₁；
（Ⅲ）由（II）可知∠A₁C₁D为直线A₁C₁与平面BDC₁所成的角，在直角三角形A₁C₁D中求出此角即可．

解答：证明：（Ⅰ）∵D、E分别是AC、A₁C₁的中点
∴AD∥C₁E，AD=C₁E
则四边形ADC₁E为平行四边形
∴AE∥C₁D而AE?平面BDC₁，C₁D?平面BDC₁，
∴直线AE∥平面BDC₁；
（Ⅱ）设侧棱长为1，则底面边长为2，
根据题意可知A₁D=C₁D=

2

，A₁C₁=2
根据勾股定理可知A₁D⊥C₁D
∵BD⊥面AA₁C₁C，A₁D?面AA₁C₁C
∴BD⊥A₁D，而C₁D∩BD=D
∴直线A₁D⊥平面BDC₁；
（Ⅲ）解：由（II）可知∠A₁C₁D为直线A₁C₁与平面BDC₁所成的角
而∠A₁C₁D=45°
∴直线A₁C₁与平面BDC₁所成的角为45°

点评：本题主要考查了线面平行的判定，线面垂直的判定和线面所成角的度量，同时考查了空间想象能力、推理论证的能力，属于中档题．