Question

已知函数f(x)=

1

3

ax3+bx2+2x-1，  g(x)=-x2+x+1，若函数f（x）与g（x）的图象的一个交点P的横坐标为1，且两曲线在点P处的切线互相垂直．
（1）求：函数h（x）=f（x）-x的单调递增区间．
（2）若对任意x₁，x₂∈[-1，1]，不等式f（x₁）+k＜g（x₂）恒成立，求：实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据函数f（x）与g（x）的图象的一个交点P的横坐标为1，且两曲线在点P处的切线互相垂直．求出f（x）=-x³+x²+2x-1，再利用导数法求函数的单调递增区间．
（2）对任意x₁，x₂∈[-1，1]，f（x₁）+k＜g（x₂）恒成立?当x₁，x₂∈[-1，1]时，f（x₁）_max+k＜g（x₂）_min成立，利用导数法，可求最值，从而得解．

解答：解：（1）由题意：g(1)=1=f(1)=

1

3

a+b+1，∴a+3b=0…①
又g′（x）=-2x+1，∴g（x）的图象在点P切线的斜率为：g′（1）=-1
又f′（x）=ax²+2bx+2，∴f（x）的图象在点P切线的斜率为：f′（1）=a+2b+2=1…②
由①②可解得：a=-3，b=1，∴f（x）=-x³+x²+2x-1，…（3分）
∴h（x）=f（x）-x=-x³+x²+x-1，∴h′（x）=-3x²+2x+1=（3x+1）（-x+1）
令h′（x）=（3x+1）（-x+1）≥0，解得：-

1

3

≤x≤1
即函数h（x）的单调递增区间为：[-

1

3

，  1]．…（6分）
（2）对任意x₁，x₂∈[-1，1]，f（x₁）+k＜g（x₂）恒成立?当x₁，x₂∈[-1，1]时，f（x₁）_max+k＜g（x₂）_min成立…（★）        …（8分）
∵f′（x）=-3x²+2x+2，x∈[-1，1]，令f′（x）＞0，解得：

1- 7

3

＜x＜1
∴f（x）区间[-1，

1- 7

3

]上递减，在区间[

1- 7

3

，  1]上递增
又f（-1）=-1，f（1）=1，
∴当x∈[-1，1]时，f（x）_max=f（1）=1…（10分）
而g(x)=-x2+x+1=-(x-

1

2

)2+

5

4

，
∴当x∈[-1，1]时，g（x）_min=g（-1）=-1
∴由（★）式有：1+k＜-1，
∴实数k的取值范围为：（-∞，-2）．…（12分）

点评：本题以函数为载体，考查函数的解析式，考查函数的单调性，考查恒成立问题的处理，注意利用导数求函数的最值．