Question

【题目】设f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，f′（x），g'（x）为其导函数，当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g'（x）＜0且g（﹣3）＝0，则使得不等式f（x）g（x）＜0成立的x的取值范围是（ ）

A.（﹣∞,﹣3）B.（﹣3,0）C.（0,3）D.（3,+∞）

Answer 1

【答案】BD

【解析】

由当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g'（x）＜0可得，故可构造函数h（x）＝f（x）g（x），由f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，所以h（x）在R上单调递减且为奇函数，结合图像即可得解.

∵f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，

∴f（﹣x）＝﹣f（x），g（﹣x）＝g（x），

令h（x）＝f（x）g（x），

则h（﹣x）＝﹣h（x），

故h（x）＝f（x）g（x）为R上的奇函数，

∵当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g'（x）＜0，

即x＜0时，h′（x）＝f′（x）g（x）+f（x）g'（x）＜0，

∴h（x）＝f（x）g（x）在区间（﹣∞，0）上单调递减，

∴奇函数h（x）在区间（0，+∞）上也单调递减，

如图：

由g（﹣3）＝0，

∴h（﹣3）＝h（3）＝0，

∴当x∈（﹣3，0）∪（3，+∞）时，h（x）＝f（x）g（x）＜0，

故选：BD.