Question

已知函数f（x）=ax³+bx²-3x在x=±1处取得极值．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求证：对于区间[-1，1]上任意两个自变量的值x₁，x₂都有|f（x₁）-f（x₂）|≤4．

Answer 1

（1）解：∵f（x）=ax³+bx²-3x，
∴f'（x）=3ax²+2bx-3，
∵函数f（x）=ax³+bx²-3x在x=±1处取得极值，
∴f'（1）=f'（-1）=0…（3分）
即3a+2b-3=3a-2b-3=0，
解得a=1，b=0，
∴f（x）=x³-3x…（6分）
（2）证明：∵f（x）=x³-3x
∴f'（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1）…（7分）
当-1＜x＜1时，f'（x）＜0，
故f（x）在区间[-1，1]上为减函数 …（9分）
f（x）_max=f（-1）=2，
f（x）_min=f（1）=-2…（11分）
∴对于区间[-1，1]上任意两个自变量的值x₁，x₂，
都有|f（x₁）-f（x₂）|
≤|f（x）_max-f（x）_min|
=2-（-2）=4…（12分）
分析：（1）f'（x）=3ax²+2bx-3，依题意，f'（1）=f'（-1）=0，由此能求出函数f（x）的解析式．
（2）由f（x）=x³-3x，知f'（x）=3（x+1）（x-1）．当-1＜x＜1时，f'（x）＜0，由此能够证明对于区间[-1，1]上任意两个自变量的值x₁，x₂都有|f（x₁）-f（x₂）|≤4．
点评：本题考查利用导数求闭区间上函数的最值的应用，具体涉及到函数解析式的求法和不等式的证明，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．解题时要认真审题，仔细解答．