【题目】如图,在三棱锥P-ABC中,底面ABC,.点D,E,N分别为棱PA,PC,BC的中点,M是线段AD的中点,,.
(1)求证:平面BDE;
(2)求二面角C-EM-N的正弦值.
(3)已知点H在棱PA上,且直线NH与直线BE所成角的余弦值为,求线段AH的长.
【答案】(1)见解析(2);(3)AH的长为4.
【解析】
(1)利用面面平行的判定定理证明平面平面BDE,再由面面平行的性质定理得出平面BDE;
(2)建立空间直角坐标系,利用向量法求解即可;
(3)建立空间直角坐标系,设出点的坐标,利用向量法求解即可得出线段AH的长.
(1)取AB中点F,连接MF,NF,
因为M为AD中点,
所以,
因为平面BDE,平面BDE,
所以平面BDE.
因为N为BC中点
所以,
又D,E分别为AP,PC的中点,
所以,则.
因为平面BDE,平面BDE,
所以平面BDE.
又,平面
所以平面平面BDE
平面
则平面BDE;
(2)因为底面ABC,.
所以以A为原点,分别以AB,AC,AP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系
因为,,
所以,,,,,,
则,,
设平面MEN的一个法向量为,
由,得,
取,得.
由图可得平面CME的一个法向量为.
所以.
所以二面角C-EM-N的余弦值为,则正弦值为;
(3)设,则,,.
因为直线MH与直线BE所成角的余弦值为,
所以,
解得:.
所以当H与P重合时直线NH与直线BE所成角的余弦值为,此时线段AH的长为4.
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【题目】已知是整数,幂函数在上是单调递增函数.
(1)求幂函数的解析式;
(2)作出函数的大致图象;
(3)写出的单调区间,并用定义法证明在区间上的单调性.
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【题目】天干地支纪年法,源于中国中国自古便有十天干与十二地支十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸,十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配,排列起来,天干在前,地支在后,天干由“甲”起,地支由“子”起,比如说第一年为“甲子”,第二年为“乙丑”,第三年为“丙寅”依此类推,排列到“癸酉”后,天干回到“甲”重新开始,即“甲戌”“乙亥”,之后地支回到“子”重新开始,即“丙子”依此类推已知1949年为“己丑”年,那么到新中国成立80周年时,即2029年为( )
A.己丑年B.己酉年C.壬巳年D.辛未年
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【题目】如图,某生态园将一三角形地块ABC的一角APQ开辟为水果园种植桃树,已知角A为的长度均大于200米,现在边界AP,AQ处建围墙,在PQ处围竹篱笆.
(1)若围墙AP,AQ总长度为200米,如何围可使得三角形地块APQ的面积最大?
(2)已知AP段围墙高1米,AQ段围墙高1.5米,造价均为每平方米100元.若围围墙用了20000元,问如何围可使竹篱笆用料最省?
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【题目】设(1-x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,n∈N*,n≥2.
(1)设n=11,求|a6|+|a7|+|a8|+|a9|+|a10|+|a11|的值;
(2)设,Sm=b0+b1+b2+…+bm(m∈N,m≤n-1),求|的值.
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【题目】已知函数的图像如图所示,关于有以下5个结论:
(1);(2),;(3)将图像上所有点向右平移个单位得到的图形所对应的函数是偶函数;(4)对于任意实数x都有;(5)对于任意实数x都有;其中所有正确结论的编号是( )
A.(1)(2)(3)B.(1)(2)(4)(5)C.(1)(2)(4)D.(1)(3)(4)(5)
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【题目】设,.已知函数,.
(Ⅰ)求的单调区间;
(Ⅱ)已知函数和的图象在公共点(x0,y0)处有相同的切线,
(i)求证:在处的导数等于0;
(ii)若关于x的不等式在区间上恒成立,求b的取值范围.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中,直线C1的参数方程为(t为参数),以该直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系下,圆C2的方程为ρ=﹣2cosθ+2sinθ.
(Ⅰ)求直线C1的普通方程和圆C2的圆心的极坐标;
(Ⅱ)设直线C1和圆C2的交点为A,B,求弦AB的长.
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【题目】在直角坐标系中,曲线上的点均在曲线外,且对上任意一点,到直线的距离等于该点与曲线上点的距离的最小值.
(1)求动点的轨迹的方程;
(2)若点是曲线的焦点,过的两条直线关于轴对称,且分别交曲线于,若四边形的面积等于,求直线的方程.
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