Question

已知，如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，AC=AB，CO交⊙O于点P，CO的延长线交⊙O于点F，BP的延长线交AC于点E.

（1） 求证：FA∥BE；
（2）求证：；           
（3）若⊙O的直径AB=2，求的值.

Answer 1

（1）根据题意，由于∠OAF=∠F ∵∠B=∠F ∴∠OAF=∠B ∴FA∥BE 可知结论。
（2）利用△APC∽△FAC来得到证明。
（3）tan∠F=

试题分析：解 证明：（1）在⊙O中，∵直径AB与FP交于点O ∴OA=OF
∴∠OAF=∠F ∵∠B=∠F ∴∠OAF=∠B ∴FA∥BE                 3分
（2）∵AC为⊙O的切线，PA是弦 ∴∠PAC=∠F
∵∠C=∠C ∴△APC∽△FAC ∴                  6分
∴∵AB="AC" ∴  _.
（3）∵AC切⊙O于点A，CPF为⊙O的割线，则有
AC²=CP•CF=CP（CP+PF），∵PF="AB=AC=2" ∴CP（CP+2）=4
整理得CP²+2CP-4="0," 解得CP=-1±
∵CP>0 ∴CP=                                     8分
∵FP为⊙O的直径 ∴∠FAP=90⁰
由（2）中证得
在Rt△FAP中，tan∠F=               10分
点评：主要是考查了三角形相似性质的运用，以及切割线定理的运用，属于基础题。