Question

已知函数f(x)=x-

1

x

，x∈（0，+∞）．
（1）用函数单调性的定义证明：f（x）在其定义域上是单调增函数；
（2）若f（3^x-2）＞f（9^x），求x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用定义法证明单调性，按步骤：取，作差，判断差的符号，得出结论，证明即可；
（2）由（1）函数是增函数，由此可将不等式f（3^x-2）＞f（9^x）转化为3^x-2＞9^x，解此指数型不等式，求x的取值范围

解答：解：（1）任取x₁，x₂∈（0，+∞）．令x₁＜x₂
f（x₁）-f（x₂）=x1-

1

x1

-（x2-

1

x2

）=（x₁-x₂）+（

1

x2

-

1

x1

）=（x₁-x₂）×（1+

1

x1x2

）
∵x₁，x₂∈（0，+∞）．x₁＜x₂
∴x₁-x₂＜0，1+

1

x1x2

＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
故f（x）在其定义域上是单调增函数；
（2）由（1）证明知f（x）在其定义域上是单调增函数，又f（3^x-2）＞f（9^x），
∴3^x-2＞9^x，即3^x-2＞3^2x，
∴x-2＞2x，得x＜-2
x的取值范围是x＜-2

点评：本题考查函数单调性的判断与证明，解题的关键是熟练掌握定义法证明单调性的步骤及原理，能利用单调性灵活转化不等式，达到化抽象不等式为具体不等式，解出不等式，本题考查了推理论证的能力及转化化归的能力，计算能力