Question

已知斐波那契数列{F_n}满足：F₁=1，F₂=1，F_n+2=F_n+1+F_n（n∈N*），若数列{F_n+1+λF_n}是等比数列（λ为实常数）．
（1）求出所有λ的值，并求数列{F_n}的通项公式；
（2）求证：

1

F1

+

1

F2

+…+

1

F2007

＜

7

2

．

Answer 1

分析：（1）设F_n+2+λF_n+1=q（F_n+1+λF_n）（q≠0）则F_n+2=（q-λ）F_n+1+qλF_n，又因为F_n+2=F_n+1+F_n，所以

q-λ=1 qλ=1

，由此能够求出所有λ的值，并求出数列{F_n}的通项公式．
（2）由F_n＞0，知F_n+2=F_n+1+F_n＞F_n+1，{F_n}为递增数列．所以F_n+2=F_n+1+F_n＞F_n+F_n，即F_n+2＞2F_n．由此入手能够证明

1

F1

+

1

F2

+…+

1

F2007

＜

7

2

．

解答：解：（1）设F_n+2+λF_n+1=q（F_n+1+λF_n）（q≠0），
则F_n+2=（q-λ）F_n+1+qλF_n
又因为F_n+2=F_n+1+F_n
∴

q-λ=1 qλ=1

，
解得

λ= -1+ 5 2 q= 1+ 5 2

或

λ= -1- 5 2 q= 1- 5 2

------（3分）；
∴数列{Fn+1+

-1+ 5

2

Fn}和{Fn+1+

-1- 5

2

Fn}都是等比数列
∴

Fn+1+ -1+ 5 2 Fn=( 1+ 5 2 )n Fn+1+ -1- 5 2 Fn=( 1- 5 2 )n

两式相减得，Fn=

1

5

[(

1+ 5

2

)n-(

1- 5

2

)n]----（8分）；
（2）证：显然F_n＞0，
∴F_n+2=F_n+1+F_n＞F_n+1，
∴{F_n}为递增数列．
∴F_n+2=F_n+1+F_n＞F_n+F_n，
即F_n+2＞2F_n----（12分）；
∴F₇＞2F₅=2×5，F₉＞2F₇＞2²F₅=2²×5，…，
F₂₀₀₇＞2F₂₀₀₅＞2²F₂₀₀₃＞…＞2¹⁰⁰¹F₅=2¹⁰⁰¹×5
∴F₈＞2F₆=2×8，F₁₀＞2F₈＞2²F₆=2²×8，…，
F₂₀₀₆＞2F₂₀₀₄＞2²F₂₀₀₂＞…＞2¹⁰⁰⁰F₆=2¹⁰⁰⁰×8---（16分）；

∴ 1 F1 + 1 F2 +…+ 1 F2007 ＜1+1+ 1 2 + 1 3 + 1 5 + 1 8

+(

1

2×5

+

1

22×5

+…+

1

21001×5

)+(

1

2×8

+

1

22×8

=

5

2

+

1

3

+

1

5

+

1

8

+

1

5

×

1 2 [1-( 1 2 )1001]

1- 1 2

+

1

8

×

1 2 [1-( 1 2 )1000]

1- 1 2

＜

5

2

+

1

3

+

1

5

+

1

8

+

1

5

+

1

8

∴

1

F1

+

1

F2

+…+

1

F2007

＜

7

2

--（20分）；

点评：本题考查数列与不等式的综合应用能力，综合性强，难度是高考的重点，计算繁琐，容易出错．解题时要认真审题，注意培养计算能力，注意合理地进行等价转化．