Question

【题目】已知椭圆E的中心在坐标原点O，两个焦点分别为A（﹣1，0），B（1，0），一个顶点为H（2，0）．

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）对于x轴上的点P（t，0），椭圆E上存在点M，使得MP⊥MH，求实数t的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）（﹣2，﹣1）．

【解析】

试题（1）由两个焦点分别为A（﹣1，0），B（1，0），上顶点为D（2，0），得到椭圆的半长轴a，半焦距c，再求得半短轴b，

最后由椭圆的焦点在X轴上求得方程．

（2）利用向量垂直即可求得M点的横坐标x0，从而解决问题．

解：（1）由题意得，c=1，a=2，则b=

故所求的椭圆标准方程为；

（2）设M（x0，y0）（x0≠±2），则①

又由P（t，0），H（2，0）．则，

由MP⊥MH可得，即（t﹣x0，﹣y0）（2﹣x0，﹣y0）=

由①②消去y0，整理得②

∵x0≠2，∴

∵﹣2＜x0＜2，∴﹣2＜t＜﹣1

故实数t的取值范围为（﹣2，﹣1）．