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已知函数f(x)x3ax2bx(abR)

(1)a1求函数f(x)的单调区间;

(2)f(1)且函数f(x)上不存在极值点a的取值范围.

 

1b≥1f(x)的增区间为(∞);当b<1f(x)的增区间为(1)(1∞);减区间为(11)2(0]

【解析】(1)a1f(x)x22xb.

Δ44b≤0b≥1f(x)≥0

所以f(x)(∞)上为增函数所以f(x)的增区间为(∞)

Δ44b>0b<1f(x)(x1)(x1)

所以f(x)(1)(1∞)上为增函数f(x)(11)上为减函数.

所以f(x)的增区间为(1)(1∞)减区间为(11)

综上b≥1f(x)的增区间为(∞);当b<1f(x)的增区间为(1)(1∞);减区间为(11)

(2)f(1)b=-a

f(x)x3ax2axf(x)x22axa.

f′(x)0x22axa0变形得(12x)ax2

因为x∈所以a.

12xtt∈(01).

因为h(t)t2t∈(01)上单调递减h(t)∈(0∞)

yf(x)上不存在极值点a上无解,所以,a∈(0]

综上a的取值范围为(0]

 

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