已知函数f(x)=x3+ax2+bx(a,b∈R).
(1)当a=1时,求函数f(x)的单调区间;
(2)若f(1)=,且函数f(x)在上不存在极值点,求a的取值范围.
(1)当b≥1时,f(x)的增区间为(-∞,+∞);当b<1时,f(x)的增区间为(-∞,-1-),(-1+,+∞);减区间为(-1-,-1+).(2)(-∞,0]
【解析】(1)当a=1时,f′(x)=x2+2x+b.
①若Δ=4-4b≤0,即b≥1时,f′(x)≥0,
所以f(x)为(-∞,+∞)上为增函数,所以f(x)的增区间为(-∞,+∞);
②若Δ=4-4b>0,即b<1时,f′(x)=(x+1+)(x+1-),
所以f(x)在(-∞,-1-),(-1+,+∞)上为增函数,f(x)在(-1-,-1+)上为减函数.
所以f(x)的增区间为(-∞,-1-),(-1+,+∞),减区间为(-1-,-1+).
综上,当b≥1时,f(x)的增区间为(-∞,+∞);当b<1时,f(x)的增区间为(-∞,-1-),(-1+,+∞);减区间为(-1-,-1+).
(2)由f(1)=,得b=-a,
即f(x)=x3+ax2-ax,f′(x)=x2+2ax-a.
令f′(x)=0,即x2+2ax-a=0,变形得(1-2x)a=x2,
因为x∈,所以a=.
令1-2x=t,则t∈(0,1),=.
因为h(t)=t+-2在t∈(0,1)上单调递减,故h(t)∈(0,+∞).
由y=f(x)在上不存在极值点,得a=在上无解,所以,a∈(-∞,0].
综上,a的取值范围为(-∞,0]
科目:高中数学 来源:2014年高考数学理复习方案二轮作业手册新课标·通用版专题七练习卷(解析版) 题型:选择题
将容量为n的样本中的数据分成6组,若第一组至第六组数据的频率之比为2∶3∶4∶6∶4∶1,且前三组数据的频数之和等于27,则n的值为( )
A.70 B.60 C.50 D.40
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科目:高中数学 来源:2014年高考数学文复习二轮作业手册新课标·通用版限时集8讲练习卷(解析版) 题型:填空题
在△ABC中,已知内角A=,边BC=2.设内角B=x,周长为y,则y=f(x)的最大值是________.
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科目:高中数学 来源:2014年高考数学文复习二轮作业手册新课标·通用版限时集7讲练习卷(解析版) 题型:填空题
若函数f(x)=sin ωx+cos ωx(x∈R,ω>0)满足f(α)=-2,f(β)=0,且|α-β|的最小值为,则函数f(x)的单调递增区间为________.
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科目:高中数学 来源:2014年高考数学文复习二轮作业手册新课标·通用版限时集6讲练习卷(解析版) 题型:选择题
已知函数f(x)=ax-x3,对区间(0,1)上的任意x1,x2,且x1<x2,都有f(x2)-f(x1)>x2-x1成立,则实数a的取值范围为( )
A.(0,1) B.[4,+∞) C.(0,4] D.(1,4]
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科目:高中数学 来源:2014年高考数学文复习二轮作业手册新课标·通用版限时集6讲练习卷(解析版) 题型:选择题
过曲线y=x3+x-2上一点P0处的切线平行于直线y=4x,则点P0的一个坐标是( )
A.(0,-2) B.(1,1) C.(1,4) D.(-1,-4)
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科目:高中数学 来源:2014年高考数学文复习二轮作业手册新课标·通用版限时集4讲练习卷(解析版) 题型:解答题
设函数f(x)=a为常数且a∈(0,1).
(1)当a=时,求f;
(2)若x0满足f[f(x0)]=x0,但f(x0)≠x0,则称x0为f(x)的二阶周期点.证明函数f(x)有且仅有两个二阶周期点,并求二阶周期点x1,x2;
(3)对于(2)中的x1,x2,设A(x1,f[f(x1)]),B(x2,f[f(x2)]),C(a2,0),记△ABC的面积为S(a),求S(a)在区间[,]上的最大值和最小值.
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科目:高中数学 来源:2014年高考数学文复习二轮作业手册新课标·通用版限时集3A讲练习卷(解析版) 题型:选择题
已知实数x,y满足则z=2x-3y的最大值是( )
A.-6 B.-1 C.6 D.4
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