Question

已知矩阵，其中a∈R，若点P（1，1）在矩阵A的变换下得到点P′（0，-3）．
（1）求实数a的值；
（2）求矩阵A的特征值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据点P在矩阵A的变化下得到的点P′（0，-3），写出题目的关系式，列出关于a的等式，解方程即可．
（2）写出矩阵的特征多项式，令多项式等于0，得到矩阵的特征值，对于两个特征值分别解二元一次方程，得到矩阵A的属于特征值-1的一个特征向量和矩阵A的属于特征值3的一个特征向量．
解答：解：（1）由：（1）由   =，
得a+1=-3，则a=-4（3分）
（2）由（1）知 ，
所以，由F（λ）=得：λ₁=-1，λ₂=3（7分）
λ₁=-1时，由-2x+y=0得：y=-2x取
λ₂=3时，由2x+y=0得：y=-2x，取．（9分）
所以，A的特征值为-1或3．
属于-1的一个特征向量，
属于3的一个特征向量（10分）
点评：本题考查二阶矩阵，考查二阶矩阵的特征值的求法，考查二阶矩阵的特征向量的求法，因为是高等数学的内容，考查的比较简单，是一个中档题．