Question

（本小题满分14分）已知函数．

（Ⅰ）求函数的单调区间;

（Ⅱ）若在上是单调函数，求的取值范围．

 

Answer 1

（Ⅰ）详见解析; （Ⅱ）或或

【解析】

试题分析：（Ⅰ）先求出函数的定义域，然后再求导数得，分a=0，a＞0，a＜0对导数的符号进行讨论，即可求出函数的单调性；（Ⅱ）结合（Ⅰ）中的函数单调性，对a进行分类讨论，又x∈（1，2），分a≤0，0＜2a≤1，1＜2a＜2，2a≥2进行分类讨论，即可求出结果．

试题解析：（Ⅰ） 的定义域为．．

（1）当时，，则，时，为增函数；

（2）当时，由得，或，由于此时，

所以时,为增函数，时，为增函数；

由得，，考虑定义域，当，为减函数，

时，为减函数；

（3）当时，由得，或，由于此时，所以

当时，为增函数，时，为增函数．

由得，，考虑定义域，当,为减函数，

时，为减函数．

综上，当时，函数的单调增区间为,．

当时，函数的单调增区间为，,

单调减区间为，．

当时，函数的单调增区间为，

单调减区间为， 7分

（Ⅱ）【解析】

（1）当时，由（Ⅰ）可得，在单调增，且时．

（2）当时，即时，由（Ⅰ）可得，在单调增，即在单调增，且时．

（3）当时，即时，由（Ⅰ）可得，在上不具有单调性，不合题意．

（4）当，即时，由（Ⅰ）可得，在为减函数，同时需注意，满足这样的条件时在单调减，所以此时或．

综上所述，或或．

考点：1．导数在函数单调性中的应用；2． 恒成立问题．