Question

5．已知函数f（x）=ax³+bx+c的图象过点（0，-16），且在x=1处的切线方程是y=4x-18．
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）若直线为曲线y=f（x）的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标；
（3）若函数g（x）=x³+x²-lnx，记F（x）=f（x）-g（x），求函数y=F（x）在区间$[\frac{1}{2}，3]$上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）由题意直接得c，再由在x=1处的切线方程是y=4x-18，可得$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=-14}\\{f′（1）=4}\end{array}\right.$，求解方程组得答案；
（2）设出切点坐标，求出函数在切点处的导数，写出直线方程点斜式，代入原点坐标求得答案；
（3）对y=F（x）求导，由导函数为0求出极值点，然后再求出端点处的函数值，比较大小后可得函数y=F（x）在区间$[\frac{1}{2}，3]$上的最大值和最小值．

解答 解：（1）由题意：c=-16，
∵f′（x）=3ax²+b，切线过（1，-14），
∴$\left\{\begin{array}{l}f（1）=-14\\ f'（1）=4\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}a+b-16=-14\\ 3a+b=4\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=1\end{array}\right.$，
∴f（x）=x³+x-16；
（2）设切点$（{x_0}，{x_0}^3+{x_0}-16）$，
∵f′（x）=3x²+1，∴$f′（{x}_{0}）=3{{x}_{0}}^{2}+1$，
则切线方程：$y-{x_0}^3-{x_0}+16=（3{x_0}^2+1）（x-{x_0}）$，
∵切线过原点，∴$-{x_0}^3-{x_0}+16=-3{x_0}^3-{x_0}⇒{x_0}=-2$，
即切点坐标为（-2，-26）．
∴切线方程为y+26=13（x+2），整理得y=13x；
（3）$F（x）={x^3}+x-16-{x^3}-{x^2}+lnx=-{x^2}+x+lnx-16，x∈[\frac{1}{2}，3]$，
则$F'（x）=-2x+1+\frac{1}{x}=-\frac{{2{x^2}-x-1}}{x}=-\frac{（x-1）（2x+1）}{x}＞0$，
解得：x＜1，
∴F（x）在[$\frac{1}{2}$，1]上为增函数，在[1，3]上为减函数，
则F（x）的极大值为F（1）=-16，
$F（\frac{1}{2}）=-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+ln\frac{1}{2}-16=\frac{1}{4}-ln2-16$$＞\frac{1}{4}-ln\sqrt{e}-16=-\frac{1}{4}-16$，
F（3）=-9+3+ln3-16=-6+ln3-16＜-6+2-16=-20，
则$F（\frac{1}{2}）＞F（3）$．
∴F（x）_max=F（1）=0，F（x）_min=F（3）=-22+ln3．

点评 本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求函数的最值，考查计算能力，是中档题．