Question

6．已知二次函数f（x）=ax²+bx+1（a，b∈R），若f（-1）=0，且对任意x均有f（x）≥0恒成立，则实数a=1．

Answer 1

分析 把函数f（x）=ax²+bx+1（a、b∈R）满足：f（-1）=0，代入可以求得a与b的关系式，再根据对任意实数x均有f（x）≥0成立，可以求出a与b的关系式；

解答 解：函数f（x）=ax²+bx+1（a、b∈R）满足：f（-1）=0，可得a-b+1=0，可得b=a+1
∵对任意实数x均有f（x）≥0成立，
∴ax²+bx+1=ax²+（a+1）x+1≥0，恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}a＞0\\△=（a+1）^{2}-4a≤0\end{array}\right.$，解得（a+1）²-4a=（a-1）²≤0，
∴a=1，b=2；
故答案为：1．

点评 此题主要考查二次函数的性质以及函数的恒成立问题，考查的知识点比较单一，是一道中档题．