Question

设p为常数，函数f（x）=log₂（1-x）+plog₂（1+x）为奇函数．
（1）求p的值；（2）若f（x）＞2，求x的取值范围；（3）求证：x•f（x）≤0．

Answer 1

解：（1）f（x）=log₂（1-x）+plog₂（1+x）=log₂[（1-x）（1+x）^p]，
∵f（x）=log₂（1-x）+plog₂（1+x）为奇函数，
∴f（-x）=log₂[（1+x）（1-x）^p]=-f（x）==log₂[（1-x）^-1（1+x）^-p]，
∴，
∴p=-1．
（2）∵p=-1，
∴f（x）=，
∵f（x）＞2，
∴，
解得-1＜x＜-，
∴f（x）＞2时x的取值范围是（-1，-）．
（3）∵f（x）=，
∴，解得-1＜x＜1．
当-1＜x＜0时，，f（x）=＞0，
∴x•f（x）＜0；
当x=0时，=1，f（x）==0，
∴x•f（x）=0；
当0＜x＜1时，＜1，f（x）=＜0，
∴x•f（x）＜0．
综上所述，x•f（x）≤0．
分析：（1）f（x）=log₂（1-x）+plog₂（1+x）=log₂（1-x）（1+x）^p，由f（x）=log₂（1-x）+plog₂（1+x）为奇函数，知f（-x）=log₂（1+x）（1-x）^p=-f（x）=，由此能求出p的值．
（2）由p=-1，知f（x）=，由f（x）＞2，，由此能求出f（x）＞2时x的取值范围．
（3）由f（x）=的定义域为{x|-1＜x＜1}，分-1＜x＜0，x=0和0＜x＜1三种情况进行讨论，证明x•f（x）≤0．
点评：本题考查对数函数的性质和应用，是中档题．解题时要认真审题，注意分类讨论思想的灵活运用．