Question

设a＞0，函数f （x） 是定义在（0，+∞）的单调递增的函数且f （

ax

x-1

）＜f（2），试求x的取值范围．

Answer 1

分析：由已知中a＞0，函数f （x） 是定义在（0，+∞）的单调递增的函数且f （

ax

x-1

）＜f（2），我们可得到一个关于x的不等式（含参数a），根据二次不等式的解法，分a=2时，0＜a＜2时和当a＞2时，三种情况讨论，即可得到x的取值范围．

解答：解∵函数f （x） 是定义在（0，+∞）的单调递增的函数又∵a＞0∴由

ax

x-1

＞0可以解得x＞1或x＜0．    （2分）
又

ax

x-1

＜2?

(a-2)x+2

x-1

＜0?(x-1)[(a-2)x+2]＜0（2分）
（1）当a=2时，原不等式?x＜0；                        （3分）
（2）当0＜a＜2时，原不等式?x＜0或x＞

-2

a-2

；         （3分）
（3）当a＞2时，原不等式?

-2

a-2

＜x＜0．（3分）

点评：本题考查的知识点是函数的单调性的性质，一元二次不等式的解法，其中根据已知条件，结合函数单调性，将f （

ax

x-1

）＜f（2），转化为（x-1）[（a-2）x+2]＜0是解答本题的关键，本题易忽略a=2时的情况，造成答案的不完整！