【题目】已知函数.
(Ⅰ)求方程的实数解;
(Ⅱ)如果数列满足,(),是否存在实数,使得对所有的都成立?证明你的结论.
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,设数列的前项的和为,证明:.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)存在使得;(Ⅲ)见解析.
【解析】(Ⅰ)由题意,通过解分式方程即可得方程的实数解析;(Ⅱ)通过函数的单调性判断数列通项的范围,再利用数学归纳法进行证明;(Ⅲ)由(Ⅱ)可得通项的范围,构造新数列,通过计算数列的前和及其范围,再利用数学归纳法证明之.
试题解析:(Ⅰ);
(Ⅱ)存在使得.
证法1:因为,当时,单调递减,所以.因为,所以由得且.下面用数学归纳法证明.
因为,所以当时结论成立.
假设当时结论成立,即.由于为上的减函数,所以,从而,
因此,
即.
综上所述,对一切,都成立,
即存在使得.
证法2:,且
是以为首项,为公比的等比数列.
所以.
易知,所以当为奇数时,;当为偶数时,
即存在,使得.
(Ⅲ)证明:由(2),我们有,从而.
设,则由得.
由于,
因此n=1,2,3时,成立,左边不等式均成立.
当n>3时,有,
因此.
从而.即.
解法2: 由(Ⅱ)可知,所以
,所以
所以
所以当为偶数时,;所以当为奇数时,
即.(其他解法酌情给分)
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【题目】已知函数.现提供的大致图像的8个选项:
(A)(B)(C)(D)
(E)(F)(G)(H)
(Ⅰ)请你作出选择,你选的是( );
(Ⅱ)对于函数图像的判断,往往只需了解函数的基本性质.为了验证你的选择的正确性,请你解决下列问题:
①的定义域是 ;
②就奇偶性而言, 是 ;
③当时, 的符号为正还是负?并证明你的结论.
(解决了上述三个问题,你要调整你的选项,还来得及.)
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【题目】做投掷2个骰子试验,用(x,y)表示点P的坐标,其中x表示第1个骰子出现的点数,y表示第2个骰子出现的点数.
(1)求点P在直线y=x上的概率.
(2)求点P不在直线y=x+1上的概率.
(3)求点P的坐标(x,y)满足16<x2+y2≤25的概率.
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【题目】某工科院校对A,B两个专业的男女生人数进行调查,得到如下的列联表:
专业A | 专业B | 总计 | |
女生 | 12 | 4 | 16 |
男生 | 38 | 46 | 84 |
总计 | 50 | 50 | 100 |
(1)从B专业的女生中随机抽取2名女生参加某项活动,其中女生甲被选到的概率是多少?
(2)能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下,认为工科院校中“性别”与“专业”有关系呢?
注:K2=
P(K2≥k0) | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 |
k0 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 |
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【题目】如图所示,已知三棱锥P-ABC,∠ACB=90°,CB=4,AB=20,D为AB的中点,且△PDB是正三角形,PA⊥PC.
(1)求证:平面PAC⊥平面ABC.
(2)求二面角D-AP-C的正弦值.
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【题目】在如图所示的圆台中,AC是下底面圆O的直径,EF是上底面圆O的直径,FB是圆台的一条母线.
(Ⅰ)已知G,H分别为EC,FB的中点,求证:GH∥平面ABC;
(Ⅱ)已知EF=FB=AC=,AB=BC.求二面角的余弦值.
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【题目】某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目的抽样调查中,随机抽取了100名电视观众,相关的数据如表所示:
类别 | 文艺节目 | 新闻节目 | 总计 |
20至40岁 | 40 | 18 | 58 |
大于40岁 | 15 | 27 | 42 |
总计 | 55 | 45 | 100 |
(1)由表中数据直观分析,收看新闻节目的观众是否与年龄有关?
(2)用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名,则大于40岁的观众应该抽取几名?
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【题目】如图所示,某小区准备将闲置的一直角三角形(其中∠B=,AB=a,BC=a)地块开发成公共绿地,设计时,要求绿地部分有公共绿地走道MN,且两边是两个关于走道MN对称的三角形(△AMN和△A′MN),现考虑方便和绿地最大化原则,要求M点与B点不重合,A′落在边BC上,设∠AMN=θ.
(1)若θ=时,绿地“最美”,求最美绿地的面积;
(2)为方便小区居民的行走,设计时要求将AN,A′N的值设计最短,求此时绿地公共走道的长度.
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