Question

在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，求证△ABC为等边三角形．

Answer 1

分析：先根据A，B，C成等差数列和三角形内角和气的B的值，进而根据等比中项的性质可知b²=ac代入余弦定理求得a²+c²-ac=ac，整理求得a=c，判断出A=C，最后利用三角形内角和气的A和C，最后证明原式．

解答：解：由A，B，C成等差数列，有2B=A+C（1）
因为A，B，C为△ABC的内角，所以A+B+C=π．
由（1）（2）得B=

π

3

．（3）
由a，b，c成等比数列，有b²=ac（4）
由余弦定理及（3），可得b²=a²+c²-2accosB=a²+c²-ac
再由（4），得a²+c²-ac=ac，
即（a-c）²=0
因此a=c
从而A=C（5）
由（2）（3）（5），得A=B=C=

π

3

所以△ABC为等边三角形．

点评：本题主要考查了等差数列和等比数列的性质，三角形形状的判断，余弦定理的应用．三角形问题与数列，函数，不等式的综合题，是考试中常涉及的问题，注重了对学生的双基能力的考查．