【题目】已知函数,a∈R.
(1)若函数f(x)在x=1处的切线为y=2x+b,求a,b的值;
(2)记g(x)=f(x)+ax,若函数g(x)在区间(0,)上有最小值,求实数a的取值范围;
(3)当a=0时,关于x的方程f(x)=bx2有两个不相等的实数根,求实数b的取值范围.
【答案】(1)a=﹣1,b=﹣2(2)a∈(0,)(3)b∈(0,)
【解析】
(1)求导得到f′(x),根据切线方程公式计算得到答案.
(2)g′(x),讨论a≤0和a>0两种情况,根据函数的单调性求最值得到答案.
(3)方程等价于bx2﹣lnx﹣1=0有两个不等的实数根,设h(x)=bx2﹣lnx﹣1,则h′(x)=2bx,讨论b≤0和b>0两种情况,计算h(x)的最小值为h(),计算得到答案.
(1)∵,∴f′(x),
由题意可得,f′(1)=1﹣a=2,解得a=﹣1,∴f(1)=a+1=0,
∴直线y=2x+b过点(1,0),可得b=﹣2;
(2)g(x)=lnx,则g′(x)
若a≤0,则g′(x)0在(0,)上恒成立,
f(x)单调递增,∴a≤0不符合题意,
若a>0,设G(x)=ax2+x﹣a,则G(x)在(0,)上单调递增,
由题意,则应有G(0)=﹣a<0,G()0,解得a,
则存在x0∈(0,),使得G(x0)=0,
且当x∈(0,x0)时,g′(x)<0,g(x)单调递减,
当x∈()时,g′(x)>0,g(x)单调递增,
∴g(x)在(0,)上的最小值为g(x0),
∴a∈(0,);
(3)由题意可知,方程lnx+1=bx2,即bx2﹣lnx﹣1=0有两个不等的实数根,
设h(x)=bx2﹣lnx﹣1,则h′(x)=2bx.
当b≤0时,h′(x)<0恒成立,h(x)单调递减,不可能有两个零点,
当b>0时,令h′(x)=0,解得x.
且当x∈(0,)时,h′(x)<0,h(x)单调递减,
当x∈(,+∞)时,h′(x)>0,h(x)单调递增,
∴h(x)的最小值为h().
由题意,应用h()0,解得0<b.
又∵h()0,且,∴存在x1∈(),使得h(x1)=0.
∵h(),设H(b),则H′(b),
且当x∈(0,1)时,H′(b)<0,H(b)单调递减,
当x∈(1,)时,H′(b)>0,H(b)单调递增,
∴H(b)≥H(1)=0,即h()≥0,
∵,∴存在x2∈(,],使得h(x2)=0.
综上,b∈(0,).
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【题目】在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为为参数),在以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,点的极坐标为,直线的极坐标方程为.
(1)求直线的直角坐标方程与曲线的普通方程;
(2)若是曲线上的动点,为线段的中点,求点到直线的距离的最大值.
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【题目】如图,在中,,,,将绕边AB翻转至,使面面ABC,D是BC的中点,设Q是线段PA上的动点,则当PC与DQ所成角取得最小值时,线段AQ的长度为( )
A.B.C.D.
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【题目】下图是某机械零件的几何结构,该几何体是由两个相同的直四棱柱组合而成的,且前后,左右、上下均对称,每个四棱柱的底面都是边长为2的正方形,高为4,且两个四棱柱的侧棱互相垂直.则这个几何体的体积为________.
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【题目】已知椭圆的中心为原点,左焦点为,离心率为,不与坐标轴垂直的直线与椭圆交于两点.
(1)若为线段的中点,求直线的方程.
(2)若点是直线上一点,点在椭圆上,且满足,设直线与直线的斜率分别为,问: 是否为定值?若是.请求出的值;若不是,请说明理由.
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【题目】一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用,从孩子一周岁生日开始,每年到银行储蓄元一年定期,若年利率为保持不变,且每年到期时存款(含利息)自动转为新的一年定期,当孩子18岁生日时不再存入,将所有存款(含利息)全部取回,则取回的钱的总数为
A.B.
C.D.
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【题目】流行性感冒(简称流感)是流感病毒引起的急性呼吸道感染,是一种传染性强、传播速度快的疾病.其主要通过空气中的飞沫、人与人之间的接触或与被污染物品的接触传播.流感每年在世界各地均有传播,在我国北方通常呈冬春季流行,南方有冬春季和夏季两个流行高峰.儿童相对免疫力低,在幼儿园、学校等人员密集的地方更容易被传染.某幼儿园将去年春期该园患流感小朋友按照年龄与人数统计,得到如下数据:
年龄() | |||||
患病人数() |
(1)求关于的线性回归方程;
(2)计算变量、的相关系数(计算结果精确到),并回答是否可以认为该幼儿园去年春期患流感人数与年龄负相关很强?(若,则、相关性很强;若,则、相关性一般;若,则、相关性较弱.)
参考数据:.
参考公式:,
相关系数.
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