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【题目】已知函数aR.

1)若函数fx)在x1处的切线为y2x+b,求ab的值;

2)记gx)=fx+ax,若函数gx)在区间(0)上有最小值,求实数a的取值范围;

3)当a0时,关于x的方程fx)=bx2有两个不相等的实数根,求实数b的取值范围.

【答案】1a=﹣1b=﹣22a∈(0)(3b∈(0

【解析】

1)求导得到fx,根据切线方程公式计算得到答案.

2gx,讨论a≤0a0两种情况,根据函数的单调性求最值得到答案.

3)方程等价于bx2lnx10有两个不等的实数根,设hx)=bx2lnx1,则hx)=2bx,讨论b≤0b0两种情况,计算hx)的最小值为h),计算得到答案.

1)∵,∴fx

由题意可得,f1)=1a2,解得a=﹣1,∴f1)=a+10

∴直线y2x+b过点(10),可得b=﹣2

2gx)=lnx,则gx

a≤0,则gx0在(0)上恒成立,

fx)单调递增,∴a≤0不符合题意,

a0,设Gx)=ax2+xa,则Gx)在(0)上单调递增,

由题意,则应有G0)=﹣a0G0,解得a

则存在x0∈(0),使得Gx0)=0

且当x∈(0x0)时,gx)<0gx)单调递减,

x∈()时,gx)>0gx)单调递增,

gx)在(0)上的最小值为gx0),

a∈(0);

3)由题意可知,方程lnx+1bx2,即bx2lnx10有两个不等的实数根,

hx)=bx2lnx1,则hx)=2bx.

b≤0时,hx)<0恒成立,hx)单调递减,不可能有两个零点,

b0时,令hx)=0,解得x.

且当x∈(0)时,hx)<0hx)单调递减,

x∈(+∞)时,hx)>0hx)单调递增,

hx)的最小值为h.

由题意,应用h0,解得0b.

又∵h0,且,∴存在x1∈(),使得hx1)=0.

h,设Hb,则Hb

且当x∈(01)时,Hb)<0Hb)单调递减,

x∈(1)时,Hb)>0Hb)单调递增,

HbH1)=0,即h≥0

,∴存在x2∈(],使得hx2)=0.

综上,b∈(0.

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