Question

（2012•昌平区二模）如图，已知椭圆M：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，离心率e=

6

3

，椭圆与x正半轴交于点A，直线l过椭圆中心O，且与椭圆交于B、C两点，B（1，1）．
（Ⅰ） 求椭圆M的方程；
（Ⅱ）如果椭圆上有两点P、Q，使∠PBQ的角平分线垂直于AO，问是否存在实数λ（λ≠0）使得

PQ

=λ

AC

成立？

Answer 1

分析：（Ⅰ）由离心率e=

6

3

，可得a²=3b²，由点B（1，1）在椭圆上，可得

1

a2

+

1

b2

=1，由此可得椭圆M的方程；
（Ⅱ）设PB、QB的直线方程分别与椭圆方程联立，利用韦达定理，确定P、Q的坐标，从而可得k_PQ=k_AC，由此可得结论．

解答：解：（Ⅰ）由题意可知e=

6

3

=

1-( b a )2

，得a²=3b²…（2分）
∵点B（1，1）在椭圆上，∴

1

a2

+

1

b2

=1，∴a2=4，b2=

4

3

…（4分）
故椭圆M的方程为：

x2

4

+

3y2

4

=1…（4分）
（Ⅱ）由于∠PBQ的平分线垂直于OA，即垂直于x轴，故直线PB的斜率存在，设为k，则QB斜率为-k，因此PB、QB的直线方程分别为y=k （x-1）+1，y=-k （x-1）+1…（6分）
由

y=k(x-1)+1 x2 4 + 3y2 4 =1

得（1+3k²）x²-6k（k-1）x+3k²-6k-1=0①
由△＞0，得k≠-

1

3

…（8分）
∵点B在椭圆上，x=1是方程①的一个根，设P（x_p，y_p），Q（x_Q，y_Q）
∴xP•1=

3k2-6k-1

3k2+1

，∴xP=

3k2-6k-1

3k2+1

，
同理xQ=

3k2+6k-1

3k2+1

…（10分）
∴k_PQ=

yP-yQ

xP-xQ

=

k(xP+xQ)-2k

xP-xQ

=

k• 2(3k2-1) 3k2+1 -2k

- 12k 3k2+1

=

1

3

∵A（2，0），C（-1，-1）
∴kAC=

1

3

，即：k_PQ=k_AC，
∴向量

PQ

∥

AC

，则总存在实数λ使

PQ

=λ

AC

成立．…（13分）

点评：本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查直线斜率的计算，正确求点的坐标是关键．