Question

四面体ABCD中，有如下命题：①若AC⊥BD，AB⊥CD则AD⊥BC；②若E、F、G分别是BC、AB、CD的中点，则∠FEG的大小等于异面直线AC与BD所成角的大小；③若点O是四面体ABCD外接球的球心，则O在平面ABD上的射影是△ABD的外心；④若四个面是全等的三角形，则四面体ABCD是正四面体．其中正确命题的序号是______（填上所有正确命题的序号）．

Answer 1

①若AC⊥BD，AB⊥CD则AD⊥BC
则连接各棱的中点后，我们易得到一个直三棱柱，
进而易得到AD⊥BC，故①正确；
②若E、F、G分别是BC、AB、CD的中点，
则∠FEG的大小等于异面直线AC与BD所成角或与异面直线AC与BD所成角互补，故②错误；
③若点O是四面体ABCD外接球的球心，
则点O到平面ABD三个顶点的距离相等，利用勾股定理易得
点O在平面ABD上的射影到ABD三个顶点的距离相等，即为△ABD的外心，故③正确；
④若四个面是全等的三角形，但不一定等边三角形，故四面体ABCD也不一定是正四面体，故④错误．
故答案为：①③