Question

已知定点A、B间的距离为2，以B为圆心作半径为2

2

的圆，P为圆上一点，线段AP的垂直平分线l与直线PB交于点M，当P在圆周上运动时，点M的轨迹记为曲线C．
（1）建立适当的坐标系，求曲线C的方程，并说明它是什么样的曲线；
（2）试判断l与曲线C的位置关系，并加以证明．

Answer 1

分析：（1）以AB中点为坐标原点，直线AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A（-1，0），B（1，0）．设M（x，y），由题意：|MP|=|MA|，|BP|=2

2

，所以|MB|+|MA|=2

2

．由此能求出曲线C的方程．
（2）直线l与曲线C的位置关系是相切．
证法一：由曲线C方程为x2+2y2=2，设P（m，n），则P在⊙B上，故（m-1）2+n2=8，即m2+n2=7+2m．由此入手能够证明直线l与曲线C相切．
证法二：在直线l上任取一点M'，连接M'A，M'B，M'C，由垂直平分线的性质得|M'A|=|M'P|，|M′A|=|M′B|=|M′P|+|M′B|≥|PB|=2

2

，由此能够证明直线l与曲线C相切．

解答：解：（1）以AB中点为坐标原点，直线AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，
则A（-1，0），B（1，0）．
设M（x，y），由题意：|MP|=|MA|，|BP|=2

2

，
所以|MB|+|MA|=2

2

．
故曲线C是以A、B为焦点，长轴长为2

2

的椭圆，
其方程为x2+2y2=2．
（2）直线l与曲线C的位置关系是相切．
证法一：由（1）知曲线C方程为x2+2y2=2，
设P（m，n），则P在⊙B上，故（m-1）2+n2=8，
即m2+n2=7+2m．
当P、A、B共线时，
直线l的方程为x=±

2

，显然结论成立．
当P、A、B不共线时，
直线l的方程为：y-

n

2

=-

m+1

n

(x-

m-1

2

)，
整理得，y=-

m+1

n

x+

3+m

n

．
把直线l的方程代入曲线C方程得：x2+2(-

m+1

n

x+

3+m

n

)2=2，
整理得[n²+2（m+1）²]x²-4（m+1）（m+3）x+2（m+3）²-2n²=0．
△=[4（m+1）（m+3）]²-4[n²+2（m+1）²][2（m+3）²-2n²]
=-8n²[（m+3）²-n²-2（m+1）²]=-8n²[-m²-n²+2m+7]=0．
∴直线l与曲线C相切．（说明：以A或B为原点建系亦可）
证法二：在直线l上任取一点M'，
连接M'A，M'B，M'C，
由垂直平分线的性质得|M'A|=|M'P|，
∴|M′A|=|M′B|=|M′P|+|M′B|≥|PB|=2

2

（当且仅当M、M'重合时取“=”号）
∴直线l与椭圆C有且仅有一个公共点M．
∴直线l与曲线C相切．

点评：通过几何量的转化考查用待定系数法求曲线方程的能力，通过直线与圆锥曲线的位置关系处理，考查学生的运算能力．通过向量与几何问题的综合，考查学生分析转化问题的能力，探究研究问题的能力，并体现了合理消元，设而不解的代数变形的思想．本题综合性强，是高考的重点，易错点是知识体系不牢固．