Question

已知：

a

=(3，2)，

b

=(-1，2)，

c

=(4，1)
（1）求|3

a

+

b

-

c

|
（2）求满足条件

a

=m

b

+n

c

的实数m，n．
（3）若向量

d

满足(

d

-

c

)∥(

a

+

b

)，且|

d

-

c

|=1求

d

．

Answer 1

分析：（1）由

a

=(3，2)，

b

=(-1，2)，

c

=(4，1)，我们易求出3

a

+

b

-

c

的坐标，代入向量模的公式，即可得到答案．
（2）由

a

=(3，2)，

b

=(-1，2)，

c

=(4，1)及

a

=m

b

+n

c

，我们可构造一个关于m，n的方程组，解方程组，即可得到实数m，n的值．
（3）若(

d

-

c

)∥(

a

+

b

)，由向量的共线定理，我们易得

d

-

c

=λ(

a

+

b

)，又由|

d

-

c

|=1，我们可以得到一个关于λ的方程，解方程求出λ的值，进而求以求出向量

d

的坐标．

解答：解：（1）3

a

+

b

-

c

=3(3，2)+(-1，2)-(4，1)=（4，7）（3分）
∴|3

a

+

b

-

c

|=

42+72

=

65

（5分）
（2）由

a

=m

b

+n

c

得
（3，2）=m（-1，2）+n（4，1）=（-m+4n，2m+n）（6分）
∴

-m+4n=3 2m+n=2

（8分）
∴

m= 5 9 n= 8 9

（10分）
（3）

a

+

b

=(2，4)，(

d

-

c

)∥

(a

+

b

)
∴

d

-

c

=λ(

a

+

b

)=(2λ，4λ)（λ∈R）（11分）
∴|

d

-

c

|=

(2λ)2+(4λ)2

=1∴λ=±

5

10

（14分）
∴λ=

5

10

时，

d

=

c

+λ(2，4)=(4+

5

5

，1+

2

5

5

)，（15分）λ=-

5

10

时，

d

=

c

+λ(2，4)=(4-

5

5

，1-

2

5

5

)．（16分）

点评：判断两个向量的关系（平行或垂直）或是已知两个向量的关系求未知参数的值，要熟练掌握向量平行（共线）及垂直的坐标运算法则，即“两个向量若平行，交叉相乘差为0，两个向量若垂直，对应相乘和为0”．