Question

据环保部门测定，某处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源距离的平方成反比，比例常数为k（k＞0）．现已知相距18km的A，B两家化工厂（污染源）的污染强度分别为a，b，它们连线上任意一点C处的污染指数y等于两化工厂对该处的污染指数之和．设AC=x（km）．
（1）试将y表示为x的函数；
（2）若a=1，且x=6时，y取得最小值，试求b的值．

Answer 1

分析：（1）点C受A污染源污染程度为

ka

x2

，受B污染源污染程度为

kb

(18-x)2

，k为比例系数（k＞0）；则点C处受污染程度是二者之和；
（2）a=1时，y=

k

x2

+

kb

(18-x)2

，对y求导，令y′=0，得x，且x=6，从而解得b的值．

解答：解：（1）设点C受A污染源污染程度为

ka

x2

，点C受B污染源污染程度为

kb

(18-x)2

，
其中k为比例系数，且k＞0．
从而点C处受污染程度y=

ka

x2

+

kb

(18-x)2

．
（2）因为a=1，所以，y=

k

x2

+

kb

(18-x)2

，y′=k[

-2

x3

+

2b

(18-x)3

]，
令y′=0，得x=

18

1+ 3 b

，
又此时x=6，解得b=8，经验证符合题意．
所以，污染源B的污染强度b的值为8．

点评：本题考查了正比例，反比例函数模型的应用，并且考查了利用导数法求函数的最值问题；解题时要细心审题，列出函数解析式，并做出正确解答．