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据环保部门测定,某处的污染指数与附近污染源的强度成正比,与到污染源距离的平方成反比,比例常数为k(k>0).现已知相距18km的A,B两家化工厂(污染源)的污染强度分别为a,b,它们连线上任意一点C处的污染指数y等于两化工厂对该处的污染指数之和.设AC=x(km).
(1)试将y表示为x的函数;
(2)若a=1,且x=6时,y取得最小值,试求b的值.
分析:(1)点C受A污染源污染程度为
ka
x2
,受B污染源污染程度为
kb
(18-x)2
,k为比例系数(k>0);则点C处受污染程度是二者之和;
(2)a=1时,y=
k
x2
+
kb
(18-x)2
,对y求导,令y′=0,得x,且x=6,从而解得b的值.
解答:解:(1)设点C受A污染源污染程度为
ka
x2
,点C受B污染源污染程度为
kb
(18-x)2

其中k为比例系数,且k>0.
从而点C处受污染程度y=
ka
x2
+
kb
(18-x)2

(2)因为a=1,所以,y=
k
x2
+
kb
(18-x)2
y=k[
-2
x3
+
2b
(18-x)3
]

令y′=0,得x=
18
1+
3b

又此时x=6,解得b=8,经验证符合题意.
所以,污染源B的污染强度b的值为8.
点评:本题考查了正比例,反比例函数模型的应用,并且考查了利用导数法求函数的最值问题;解题时要细心审题,列出函数解析式,并做出正确解答.
练习册系列答案
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(1)试将y表示为x的函数;
(2)若a=1,且x=6时,y取得最小值,试求b的值.

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(1)试将y表示为x的函数;
(2)若a=1,且x=6时,y取得最小值,试求b的值.

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据环保部门测定,某处的污染指数与附近污染源的强度成正比,与到污染源距离的平方成反比,比例常数为k(k>0).现已知相距18km的A,B两家化工厂(污染源)的污染强度分别为a,b,它们连线上任意一点C处的污染指数y等于两化工厂对该处的污染指数之和.设AC=x(km).
(1)试将y表示为x的函数;
(2)若a=1,且x=6时,y取得最小值,试求b的值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

据环保部门测定,某处的污染指数与附近污染源的强度成正比,与到污染源距离的平方成反比,比例常数为.现已知相距18的A,B两家化工厂(污染源)的污染强度分别为,它们连线上任意一点C处的污染指数等于两化工厂对该处的污染指数之和.设).

(1)试将表示为的函数;

(2)若,且时,取得最小值,试求的值.

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