Question

【题目】椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，该椭圆经过点 且离心率为 ．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）解：椭圆的标准方程为
（2）解：设A（x1，y1），B（x2，y2）， 得：（3+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣3）=0，

∵△＞0，∴3+4k2﹣m2＞0，

∴

∵以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，∴kADkBD=﹣1，

∴y1y2+x1x2﹣2（x1+x2）+4=0，∴7m2+16mk+4k2=0，

∴m1=﹣2k， k，且均满足3+4k2﹣m2＞0，

当m1=﹣2k时，l的方程为y=k（x﹣2），则直线过定点（2，0）与已知矛盾

当 时，l的方程为 ，则直线过定点

∴直线l过定点，定点坐标为

【解析】（1）根据椭圆的方程和简单几何性质，使用待定系数法即可；（2）要证明直线系y=kx+m过定点，就要找到其中的参数k，m之间的关系，把双参数化为但参数问题解决，这只要根据直线l：y=kx+m与椭圆C相交A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点即可，这个问题等价于椭圆的右顶点与A，B的张角是直角．
【考点精析】解答此题的关键在于理解椭圆的标准方程的相关知识，掌握椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：．