Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，w＞0，|φ|＜π）在一个周期内的图象如下图所示．
（1）求函数的解析式；
（2）求函数的单调递增区间；
（3）设0＜x＜π，且方程f（x）=m有两个不同的实数根，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：正弦函数的图象

专题：函数的性质及应用,三角函数的图像与性质

分析：（1）由图象观察可得A，T，故可求ω2，由点（

5π

12

，0）在图象上，可求φ，从而可求函数的解析式；
（2）由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z可解得函数的单调递增区间；
（3）设0＜x＜π，且方程f（x）=m有两个不同的实数根，通过函数的图象结合函数的对称轴，直接求实数m的取值范围和这两个根的和．

解答： 解：（1）由图象观察可知：A=2，T=2（

11π

12

-

5π

12

）=π，故ω=

2π

T

=

2π

π

=2，
∵点（

5π

12

，0）在图象上，
∴2sin（2×

5π

12

+φ）=0，
∴

5π

6

+φ=kπ，k∈Z，
∴可解得：φ=kπ-

5π

6

，k∈Z，
∵|φ|＜π
∴φ=

π

6

．
∴f(x)=2sin(2x+

π

6

)．
（2）由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z可解得：x∈[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z
故单调增区间为：[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]，k∈z．
（3）如图所示，在同一坐标系中画出y=2sin（2x+

π

6

）和y=m（m∈R）的图象，
由图可知，当-2＜m＜1或1＜m＜2时，直线y=m与曲线有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根．
∴m的取值范围为：-2＜m＜1或1＜m＜2；
当-2＜m＜1时，两根和为

4π

3

；当1＜m＜2时，两根和为

π

3

．

点评：本题主要考查了三角函数的解析式的求法，三角函数的图象的应用，考查计算能力，是常考题型，属于中档题．