分析 (1)在矩形中由已知可得,△ADF∽△EAD,则∠DAF=∠AED,得到AF⊥DE,在图2中可得AF⊥D′G,AF⊥GE,再由线面垂直的判定可得AF⊥平面D′GE,进一步得到平面D'EG⊥ABCF平面;
(2)由(1)可得D′E⊥平面ABCF,把三棱锥D'-BEG的体积转化为2倍D'-AEG的体积求解.
解答 (1)证明:在图1的直角三角形ADF和直角三角形EAD中,
∵$\frac{DF}{AD}=\frac{AD}{AE}$=$\sqrt{2}$,∴△ADF∽△EAD,则∠DAF=∠AED,
∵∠DAF+∠EAF=90°,∴∠AED+∠EAF=90°,则AF⊥DE;
在图2中,∴AF⊥D′G,AF⊥GE,
∵D′G∩GE=G,∴AF⊥平面D′GE,
∵AF?平面ABCF,∴平面D'EG⊥ABCF平面;
(2)解:∵$AD′=\sqrt{2}$,AE=1,D′E=1,
∴D′E⊥AE,
由(1)可知,AF⊥平面D′EG,∴AF⊥D′E,
∵AE∩AF=A,∴D′E⊥平面ABCF,
又EG=$\frac{1}{3}$ED=$\frac{\sqrt{3}}{3}$,∴AG=$\frac{\sqrt{6}}{3}$.
∴${S}_{△AEG}=\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{3}×\frac{\sqrt{6}}{3}=\frac{\sqrt{2}}{6}$,
∴VD′-BEG=2VD′-AEG=$\frac{\sqrt{2}}{9}$.
点评 本题考查平面与平面垂直的判定,考查空间想象能力和思维能力,训练了利用等积法求多面体的体积,关键是注意折叠问题折叠前后的变量与不变量,是中档题.
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A. | $\frac{8}{3}$ | B. | $\frac{11}{3}$ | C. | 4 | D. | 8 |
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A. | c>a>b | B. | b>a>c | C. | b>a>c | D. | a>c>b |
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A. | 实轴长相等 | B. | 离心率相等 | C. | 范围相同 | D. | 渐近线相同 |
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