Question

已知曲线C：y=x³-2x+3
（Ⅰ）求曲线C在x=-1处的切线方程；
（Ⅱ）点P在曲线C上运动，曲线C在点P处的切线的倾斜角的范围是[0，

π

4

]，求点P的横坐标的范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出函数的导函数，再求出导函数在x=-1处的导数即斜率，在x=-1处的函数值即为切点的纵坐标，最后根据点斜式求出切线方程即可；
（Ⅱ）由切线倾斜角的范围得到斜率范围，求出原函数的导函数，设出P点的坐标，得到曲线C在点P处的导数，然后得到关于点P横坐标的不等式，求解不等式得答案．

解答：解：（Ⅰ）令y=f（x）=x³-2x+3，
∴f（-1）=4，f′（x）=3x²-2，则f'（-1）=1，
∴切点为（-1，4），斜率为1，即切线方程为y-4=k（x+1）即x-y+5=0，
∴曲线C在x=-1处的切线方程为x-y+5=0；
（Ⅱ）∵倾斜角α∈[0 ， 

π

4

]
∴tanα∈[0，1]，
设点P的坐标为（x₀，y₀），
∵tanα=f'（x₀）=3x₀²-2，
∴3x₀²-2≥0且3x₀²-2≤1，
解得x0∈[-1 ， -

6

3

]∪[

6

3

 ， 1]，
∴点P的横坐标的范围为[-1 ， -

6

3

]∪[

6

3

 ， 1]．

点评：本题考查学生会利用导数研究曲线上某点的切线方程，曲线在某点处的导数，就是过该点的切线的斜率，属于中档题．