Question

已知集合A={x|-1≤x≤0}，集合B={x|ax+b•2^x-1＜0，0≤a≤2，1≤b≤3}，若a∈R，b∈R则A∩B≠∅的概率为（　　）

• A．

  1

  4

• B．

  3

  4

• C．

  1

  16

• D．

  15

  16

Answer 1

分析：根据题意，a∈[0，2]，b∈[1，3]，确定其表示的平面区域，再令函数f（x）=ax+b•2^x-1，x∈[-1，0]，求导分析单调性可得其最小值，要使A∩B≠∅，只须-a+

b

2

-1＜0，分析可得可知A∩B=∅的（a，b）对应的关系式，借助线性规划分析，可得其区域，进而由几何概型的意义计算可得答案．

解答：解：因为a∈[0，2]，b∈[1，3]，
所以（a，b）对应的区域边长为2的，
正方形（如图），面积为4．
令函数f（x）=ax+b•2^x-1，x∈[-1，0]，则f′（x）=a+bln2•2^x．
因为a∈[0，2]，b∈[1，3]，所以f'（x）＞0，即f（x）在[-1，0]上是单调增函数．
f（x）在[-1，0]上的最小值为-a+

b

2

-1．
要使A∩B≠∅，只须-a+

b

2

-1＜0，即2a-b+2＞0．
要使A∩B=∅，只须f（x）min=-a+

b

2

-1≥0⇒2a-b+2≤0，
所以满足A∩B=∅的（a，b）对应的区域是如图阴影部分．
所以S_阴影=

1

2

×1×

1

2

=

1

4

．
所以A∩B=∅的概率为P=

1 4

4

=

1

16

，
则A∩B≠∅的概率为1-

1

16

=

15

16

．
故选D．

点评：本题重点考查几何概型的意义与几何概型的计算，子集与交集、并集运算的转换，考查计算能力．