Question

圆x²+y²+x-6y+3=0上两点P、Q满足 ①关于直线kx-y+4=0对称，②OP⊥OQ．
（1）求k值；　　　　　　　　　
（2）求直线PQ的方程．

Answer 1

解：（1）曲线x²+y²+x-6y+3=0可变为：
得到圆心（-，3），半径为；
因为圆上有两点P、Q关于直线对称，得到圆心在直线上，
把（-，3）代入到kx-y+4=0中求出k=2
（2）直线PQ的斜率==-；设PQ方程为
联立得，代入整理得
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
∵OP⊥OQ．∴x₁x₂+y₁y₂=0
∴
∴
∴
所以直线PQ的方程为：或，经验证符合题意．
分析：（1）因为曲线方程为圆的方程，圆上的P与Q关于直线对称得到直线过圆心，把圆心坐标代入即可求出k；
（2）又因为PQ⊥直线kx-y+4=0得到直线PQ的斜率为，然后联立直线与圆的方程，利用OP⊥OQ．∴x₁x₂+y₁y₂=0，再借助于韦达定理，即可写出直线的方程．
点评：本题的考点是关于点、直线对称的圆的方程，主要考查考查学生理解圆的对称轴为过直径的直线，会根据两直线垂直得到斜率乘积为-1，会根据条件写出直线的一般式方程．注意条件的等价转化．