Question

已知向量

a

=（2sinx，

3

cosx），

b

=（sinx，2sinx），函数f（x）=

a

•

b

．
（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若不等式f（x）≥m对x∈[0，

π

2

]都成立，求实数m的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据向量

a

=（2sinx，

3

cosx），

b

=（sinx，2sinx），函数f（x）=

a

•

b

，利用向量的数量积公式，结合二倍角、辅助角公式化简函数，从而可得f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）不等式f（x）≥m对x∈[0，

π

2

]都成立，即f（x）_min≥m成立．

解答：解：（Ⅰ）∵向量

a

=（2sinx，

3

cosx），

b

=（sinx，2sinx），函数f（x）=

a

•

b

．
∴f（x）=2sin²x+2

3

sinxcosx=

3

sin2x-cos2x+1=2sin（2x-

π

6

）+1
∴2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z）
∴kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

（k∈Z）
∴f（x）的单调递增区间为[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]（k∈Z）；
（Ⅱ）不等式f（x）≥m对x∈[0，

π

2

]都成立，即f（x）_min≥m成立
∵x∈[0，

π

2

]，∴2x-

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]
∴sin（2x-

π

6

）∈[-

1

2

，1]
∴f（x）=2sin（2x-

π

6

）+1∈[0，3]
∴m≤0
∴m的最大值为0．

点评：本题考查向量的数量积运算，考查函数的单调性，考查恒成立问题，正确确定函数解析式是关键．