Question

如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E．OE交AD于点F．
（I）求证：DE是⊙O的切线；
（II）若

AE

AB

=

4

5

，求

AF

DF

的值．

Answer 1

分析：（I）连接OD，根据角平分线定义和等腰三角形性质推行∠CAD=∠ODA，推出OD∥AC，根据平行线性质和切线的判定推出即可；
（II）先由（I）得OD∥AE，再结合平行线分线段成比例定理即可得到答案．

解答：解：（I）连接OD，可得∠ODA=∠OAD=∠DAC　　　　　（2分）
∴OD∥AE．又AE⊥DE，…．（3分）
∴DE⊥OD．而OD为半径，
∴DE是⊙O的切线  （5分）
（II）由（I）得OD∥AE，
∴

AF

DF

=

AE

OD

．
又

AE

AB

=

AE

2OD

=

4

5

，（8分）
∴

AE

OD

=

8

5

，故

AF

DF

=

8

5

    （10分）

点评：考查了切线的判定定理，能够综合运用角平分线的性质、全等三角形的判定和性质以及平行线分线段成比例定理．