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【题目】如图,F1、F2分别是双曲线 =1(a>0,b>0)的两个焦点,以坐标原点O为圆心,|OF1|为半径的圆与该双曲线左支交于A、B两点,若△F2AB是等边三角形,则双曲线的离心率为(
A.
B.2
C. ﹣1
D.1+

【答案】D
【解析】解:连结AF1

∵F1F2是圆O的直径,

∴∠F1AF2=90°,即F1A⊥AF2

又∵△F2AB是等边三角形,F1F2⊥AB,

∴∠AF2F1= ∠AF2B=30°,

因此,Rt△F1AF2中,|F1F2|=2c,|F1A|= |F1F2|=c,

|F2A|= |F1F2|= c.

根据双曲线的定义,得2a=|F2A|﹣|F1A|=( ﹣1)c,

解得c=( +1)a,

∴双曲线的离心率为e= = +1.

故选D.

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