Question

已知函数f（x）=3^x+k（k为常数），A（-2k，2）是函数y=f¹（x）图象上的点．
（1）求实数k的值及函数y=f¹（x）的解析式：
（2）将y=f¹（x）的图象向右平移3个单位，得到函数y=g（x）的图象，若2f¹（x+

m

-3}）-g（x）≥1对任意的x＞0恒成立，试求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：反函数,函数的图象与图象变化

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）根据题意，把点A的坐标代入函数y=f（x）中，求出k的值，得f（x），从而求出y=f¹（x）；
（2）根据图象平移，得函数y=g（x）的解析式，化简不等式2f¹（x+

m

-3}）-g（x）≥1，利用函数的性质，结合分离常数法，即可求出关于m的不等式的解集．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=3^x+k（k为常数），
且A（-2k，2）是函数y=f¹（x）图象上的点；
∴3²+k=-2k，
解得k=-3；
∴f（x）=3^x-3，
∴函数y=f¹（x）=log₃（x+3）；
（2）将y=f¹（x）=log₃（x+3）的图象向右平移3个单位，得到函数y=g（x）的图象，
∴y=g（x）=log₃x；
∵2f¹（x+

m

-3）-g（x）≥1，
即2log₃（x+

m

-3+3）-log₃x≥1，
∴log₃

(x+ m )2

x

≥1；
即

(x+ m )2

x

≥3对任意的x＞0恒成立，
∴x+

2 m +m

x

≥3，
即2

m

+m≥（3-x）x；
∵x＞0，设函数t=（3-x）x，
∴t=-x²+3x=-(x-

3

2

)2+

9

4

≤

9

4

；
∴m+2

m

≥

9

4

，
解得m≥

17

4

-

13

；
∴实数m的取值范围[

17

4

-

13

，+∞）．

点评：本题考查了函数的性质与应用问题，也考查了利用分离常数法求函数最值的问题，考查了解不等式的问题，是综合性题目．