Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率e=

2

2

，左、右焦点分别为F₁、F₂，点P(2，

3

)，点F₂在线段PF₁的中垂线上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l：y=kx+m与椭圆C交于M、N两点，直线F₂M与F₂N的倾斜角分别为α，β，且α+β=π，求证：直线l过定点，并求该定点的坐标．

Answer 1

分析：（1）根据椭圆的离心率求得a和c的关系，进而根据椭圆C的左、右焦点分别为F₁（-c，0），F₂（c，0）又点F₂在线段PF₁的中垂线上
推断|F₁F₂|=|PF₂|，进而求得c，则a和b可得，进而求得椭圆的标准方程．
（2）设直线MN方程为y=kx+m，与椭圆方程联立消去y，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），根据韦达定理可表示出x₁+x₂和x₁x₂，表示出直线F₂M和F₂N的斜率，由α+β=π可推断两直线斜率之和为0，把x₁+x₂和x₁x₂代入即可求得k和m的关系，代入直线方程进而可求得直线过定点．

解答：解：（1）由椭圆C的离心率e=

2

2

得

c

a

=

2

2

，其中c=

a2-b2

，
椭圆C的左、右焦点分别为F₁（-c，0），F₂（c，0）又点F₂在线段PF₁的中垂线上
∴|F₁F₂|=|PF₂|，∴(2c

)

2

=(

3

)2+(2-c)2解得c=1，a²=2，b²=1，
∴椭圆的方程为

x2

2

+y2=1．
（2）由题意，知直线MN存在斜率，设其方程为y=kx+m．由

x2 2 +y2=1 y=kx+m

消去y，得（2k²+1）x²+4kmx+2m²-2=0．设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则△=（4km）²-4（2k²+1）（2m²-2）≥0
即2k²-m²+1≥0
则x1+x2=-

4km

2k2+1

，x1x2=

2m2-2

2k2+1

，且kF2M=

kx1+m

x1-1

，kF2N=

kx2+m

x2-1

由已知α+β=π，得kF2M+kF2N=0，即

kx1+m

x1-1

+

kx2+m

x2-1

=0．
化简，得2kx₁x₂+（m-k）（x₁+x₂-2m）=0
∴2k•

2m2-2

2k2+1

-

4km(m-k)

2k2+1

-2m=0整理得m=-2k．
∴直线MN的方程为y=k（x-2），因此直线MN过定点，该定点的坐标为（2，0）

点评：本题主要考查了双曲线的标准方程．考查了学生对问题的综合分析和基本的运算能力．