Question

16．若函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1-a}{2}$x²-ax-a（a＞0）在（-2，0）内含有两个零点，求a的取值范围．

Answer 1

分析 求导f′（x）=x²+（1-a）x-a=（x-a）（x+1），从而可得$\left\{\begin{array}{l}{f（-2）=\frac{-8}{3}+2（1-a）+2a-a＜0}\\{f（-1）=-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}（1-a）+a-a＞0}\\{f（0）=-a＜0}\end{array}\right.$，从而确定a的取值范围．

解答 解：∵f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1-a}{2}$x²-ax-a，
∴f′（x）=x²+（1-a）x-a=（x-a）（x+1），
∵函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1-a}{2}$x²-ax-a（a＞0）在（-2，0）内含有两个零点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（-2）=\frac{-8}{3}+2（1-a）+2a-a＜0}\\{f（-1）=-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}（1-a）+a-a＞0}\\{f（0）=-a＜0}\end{array}\right.$，
解得，0＜a＜$\frac{1}{3}$；
故a的取值范围为（0，$\frac{1}{3}$）．

点评 本题考查了导数的综合应用及函数零点判定定理的应用，属于中档题．