Question

【题目】已知函数f（x）=|x2﹣1|+x2+kx．
（1）若对于区间（0，+∞）内的任意x，总有f（x）≥0成立，求实数k的取值范围；
（2）若函数f（x）在区间（0，2）内有两个不同的零点x1 ， x2 ， 求：
①实数k的取值范围；
② 的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）≥0|x2﹣1|+x2+kx≥0k≥﹣ ，x∈（0，+∞），

记g（x）=﹣ = ，易知g（x）在（0，1]上递增，在（1，+∞）上递减，

∴g（x）max=g（1）=﹣1，

∴k≥﹣1；

（2）解：①（ⅰ）0＜x≤1时，方程f（x）=0化为kx+1=0，k=0时，无解；k≠0时，x=﹣ ；

（ⅱ）1＜x＜2时，方程f（x）=0化为2x2+kx﹣1=0，x= ，而其中 ＜ ≤0，

故f（x）=0在区间（1，2）内至多有一解x= ；

综合（ⅰ）（ⅱ）可知，k≠0，且0＜x≤1时，方程f（x）=0有一解x=﹣ ，故k≤﹣1；

1＜x＜2时，方程f（x）=0也仅有一解x= ，令1＜ ＜2，得﹣ ＜k＜﹣1，

∴实数k的取值范围是﹣ ＜k＜﹣1；

②方程f（x）=0的两解分别为x1=﹣ ，x2= ，

=﹣k+ =﹣k+ = =2x2∈（2，4）．

【解析】（1）由f（x）≥0分离出参数k，得k≥﹣ ，x∈（0，+∞），记g（x）=﹣ ，则问题等价于k≥g（x）max ， 由单调性可得g（x）max；（2）①（i）当0＜x≤1时，方程f（x）=0为一次型方程，易判断k≠0时有一解；当1＜x＜2时，方程f（x）=0为二次方程，可求得两解，易判断其一不适合，令另一解大于1小于2，可得k的范围，综合可得结论；（ii）由①易知两零点x1 ， x2 ， 从而可表示出 ，化简可得为2x2 ， 结合（ii）可得结论；