【题目】已知以点为圆心的圆C被直线截得的弦长为.
(1)求圆C的标准方程:
(2)求过与圆C相切的直线方程:
(3)若Q是直线上的动点,QR,QS分别切圆C于R,S两点.试问:直线RS是否恒过定点?若是,求出恒过点坐标:若不是,说明理由.
【答案】(1)(2)或(3)直线RS恒过定点
【解析】
(1)由弦长可得,进而求解即可;
(2)分别讨论直线的斜率存在与不存在的情况,再利用圆心到直线距离等于半径求解即可;
(3)由QR,QS分别切圆C于R,S两点,可知,在以为直径的圆上,设为,则可得到以为直径的圆的方程,与圆联立可得,由求解即可
(1)由题,设点到直线的距离为,
则,
则弦长,解得,
所以圆的标准方程为:
(2)当切线斜率不存在时,直线方程为,圆心到直线距离为2,故此时相切;
当切线斜率存在时,设切线方程为,即,
则,解得,
则直线方程为,即,
综上,切线方程为或
(3)直线RS恒过定点,
由题,,则,在以为直径的圆上,
设为,
则以为直径的圆的方程为:,
整理可得,
与圆:联立可得:,
即,
令,解得,
故无论取何值时,直线恒过定点
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【题目】下列说法正确的是( )
A. 某厂一批产品的次品率为 ,则任意抽取其中10件产品一定会发现一件次品
B. 掷一枚硬币,连续出现5次正面向上,第六次出现反面向上的概率与正面向上的概率仍然都为0.5
C. 某医院治疗一种疾病的治愈率为10%,那么前9个病人都没有治愈,第10个人就一定能治愈
D. 气象部门预报明天下雨的概率是90%,说明明天该地区90%的地方要下雨,其余10%的地方不会下雨
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【题目】已知双曲线C1的渐近线是x±2y=0,焦点坐标是F1(-,0)、F2(,0).
(1)求双曲线C1的方程;
(2)若椭圆C2与双曲线C1有公共的焦点,且它们的离心率之和为,点P在椭圆C2上,且|PF1|=4,求∠F1PF2的大小.
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【题目】某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是:[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].
(1)求图中a的值;
(2)根据频率分布直方图,估计这100名学生语文成绩的平均分;
(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如下表所示,求数学成绩在[50,90)之外的人数.
分数段 | [50,60) | [60,70) | [70,80) | [80,90) |
x∶y | 1∶1 | 2∶1 | 3∶4 | 4∶5 |
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【题目】是亚太区域国家与地区加强多边经济联系、交流与合作的重要组织,其宗旨和目标是“相互依存、共同利益,坚持开放性多边贸易体制和减少区域间贸易壁垒.”2017年会议于11月10日至11日在越南岘港举行.某研究机构为了了解各年龄层对会议的关注程度,随机选取了100名年龄在内的市民进行了调查,并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图(分组区间分别为,,,,).
(1)求选取的市民年龄在内的人数;
(2)若从第3,4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈,再从中选取2人参与会议的宣传活动,求参与宣传活动的市民中至少有一人的年龄在内的概率.
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【题目】某市10000名职业中学高三学生参加了一项综合技能测试,从中随机抽取100名学生的测试成绩,制作了以下的测试成绩(满分是184分)的频率分布直方图.
市教育局规定每个学生需要缴考试费100元.某企业根据这100000名职业中学高三学生综合技能测试成绩来招聘员工,划定的招聘录取分数线为172分,且补助已经被录取的学生每个人元的交通和餐补费.
(1)已知甲、乙两名学生的测试成绩分别为168分和170分,求技能测试成绩的中位数,并对甲、乙的成绩作出客观的评价;
(2)令表示每个学生的交费或获得交通和餐补费的代数和,把用的函数来表示,并根据频率分布直方图估计的概率.
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【题目】已知向量=(sin x,cos x),=(cos x,cos x),=(2,1).
(1)若∥,求sin xcos x的值;
(2)若0<x≤,求函数f(x)=·的值域.
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【题目】设函数(),.
(1)若曲线与在它们的交点处有相同的切线,求实数,的值;
(2)当时,若函数在区间内恰有两个零点,求实数a的取值范围;
(3)当,时,求函数在区间上的最小值.
[选修4-4:坐标系与参数方程]
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【题目】某高中为了选拔学生参加“全国高中数学联赛”,先在本校进行初赛(满分150分),随机抽取100名学生的成绩作为样本,并根据他们的初赛成绩得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中a的值;
(2)根据频率分布直方图,估计这次初赛成绩的平均数、中位数、众数.
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