Question

（2012•北海一模）如图（1）在等腰△ABC中，D，E，F分别是AB，AC和BC边的中点，∠ACB=120°，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B．（如图（2））
（I）试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；
（II）求二面角E-DF-C的余弦值；
（III）在线段BC是否存在一点P，但AP⊥DE？证明你的结论．

Answer 1

分析：（I）利用线线平行证明线面平行，由E、F分别是AC、BC中点，得EF∥AB，从而可证AB∥平面DEF；
方法一：（II）取CD的点M，使EM∥AD，过M作MN⊥DF于点N，连接EN，则EN⊥DF，从而可得∠MNE是二面角E-DF-C的平面角，进而可得tan∠MNE=2，从而可得二面角E-DF-C的余弦值；
（Ⅲ）在线段BC上不存在点P，使AP⊥DE，作AG⊥DE，交DE于G交CD于Q由已知得∠AED=120°，于是点G在DE的延长线上，从而Q在DC的延长线上，过Q作PQ⊥CD交BC于P，可得P在BC的延长线上．
方法二（Ⅱ）建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出平面CDF的法向量为

m

=(0，0，1)，平面EDF的法向量为

n

=(

3

，-3，

3

)，从而可求二面角E-DF-C的余弦值；
（Ⅲ）设P（x，y，0），利用

AP

•

DE

=0，

BP

∥

PC

，求得P的坐标，从而可得在线段BC上不存在点P使AP⊥DE．

解答：解：（I）如图1在△ABC中，由E、F分别是AC、BC中点，得EF∥AB，
又AB?平面DEF，EF?平面DEF，∴AB∥平面DEF．
方法一：（II）∵AD⊥CD，BD⊥CD，∴∠ADB是二面角A-CD-B的平面角，∴AD⊥BD，
∴AD⊥平面BCD，
取CD的点M，使EM∥AD，∴EM⊥平面BCD，
过M作MN⊥DF于点N，连接EN，则EN⊥DF，
∴∠MNE是二面角E-DF-C的平面角．
设CD=a，则AC=BC=2a，AD=DB=

3

a，
在△DFC中，设底边DF上的高为h
由S△DFC=

1

2

•

3

a•a•

1

2

=

1

2

•

1

2

•2a•h，∴h=

3

2

a
在Rt△EMN中，EM=

1

2

AD=

3

2

a，MN=

1

2

h=

3

4

a，∴tan∠MNE=2
从而cos∠MNE=

5

5

（Ⅲ）在线段BC上不存在点P，使AP⊥DE，
证明如下：在图2中，作AG⊥DE，交DE于G交CD于Q由已知得∠AED=120°，于是点G在DE的延长线上，从而Q在DC的延长线上，过Q作PQ⊥CD交BC于P，∴PQ⊥平面ACD，∴PQ⊥DE，∴DE⊥平面APQ，∴AP⊥DE．
但P在BC的延长线上．
方法二（Ⅱ）如图3以点D为坐标原点，直线DB、DC为x轴、y轴，建立空间直角坐标系，
设CD=a，则AC=BC=2a，AD=DB=

3

a，则A（0，0，

3

a），B（

3

a，0，0），C（0，a，0，)，E(0，

a

2

，

3

2

a)，F(

3

2

a，

a

2

，0)．
取平面CDF的法向量为

m

=(0，0，1)，设平面EDF的法向量为

n

=(x，y，z)，
则

DF • n =0 DE • n =0

，得

3 x+y=0 y+ 3 z=0

取

n

=(

3

，-3，

3

)，
∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m || n |

=

5

5

，所以二面角E-DF-C的余弦值为

5

5

；
（Ⅲ）设P（x，y，0），则

AP

•

DE

=

a

2

y-

3

2

a2=0，∴y=3a，
又

BP

=(x-

3

a，y，0)，

PC

=(-x，a-y，0)，
∵

BP

∥

PC

 ，   ∴(x-

3

a)(a-y)=-xy，    ∴x+

3

y=

3

a
把y=3a代入上式得x=-2

3

a，可知点P在BC的延长线上
所以在线段BC上不存在点P使AP⊥DE．

点评：本题线面平行，考查面面角，考查存在性问题，解题的关键是利用线面平行的判定，确定面面角，同时注意向量方法的运用．